工程数学线性代数第一章课件.pptVIP

第一章 行列式 §1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换 §5 行列式的性质 §6 行列式按行（列）展开 §7 克拉默法则 一、对换的定义 二、对换与排列奇偶性的关系 三、小结 二、应用举例 三、小结 例2 解 例3 计算 阶行列式 解 将第 列都加到第一列得 以上例子都利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 任何n阶行列式总能利用运算　　　化为上（下）三角式行列式。 例4 设 证明 证明 对 作运算 ，把 化为下三角形行列式 设为 对 作运算 ，把 化为下三角形行列式 设为 对 D 的前 k 行作运算 ，再对后 n 列作运算 ， 把 D 化为下三角形行列式 故 行列式的6个性质(行列式中行与列具有同等的地位, 凡是对行成立的性质对列也同样成立). 计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 计算4阶行列式 思考题 思考题解答 解： §6 行列式按行（列）展开 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式. * * * * 行列式的概念.（由简到杂） 及基本的计算方式 通过研究行列式的性质 简化行列式的计算方式. —— 线性方程组的求解. §4 对换 通过学习n阶行列式的性质等求解n阶行列式的其它方法 但许多性质基于“对换”的理论 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对换，叫做相邻对换． 例如 备注 相邻对换是对换的特殊情形. 一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现. 如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了. m 次相邻对换 m+1次相邻对换 m 次相邻对换 m+1次相邻对换 定理1　对换改变排列的奇偶性. 证明 先考虑相邻对换的情形． 注意到除 外，其它元素的逆序数不改变. 当 时， ， ， . 当 时， ， ， . 因此相邻对换改变排列的奇偶性. 既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么 2m+1次相邻对换 因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变. 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数. 由定理1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列(逆序数为零)，因此可知推论成立. 证明 因为数的乘法是可以交换的，所以 n 个元素相乘的次序是可以任意的，即 每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列 与 都同时作一次对换，即 与 同时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变. 考虑：n阶行列式展开只能按行标从小到大排列的顺序展开吗？ 于是 与 同时为奇数或同时为偶数. 即 是偶数. 因为对换改变排列的奇偶性， 是奇数， 也是奇数. 设对换前行标排列的逆序数为 ，列标排列的逆序数为 . 所以 是偶数， 因此，交换 中任意两个元素的位置后，其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变. 设经过一次对换后行标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为 经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此. 所以，在一系列对换之后有 定理2 n 阶行列式也可定义为 定理3 n 阶行列式也可定义为 例1 试判断 和 是否都是六阶行列式中的项. 解 下标的逆序数为 所以 是六阶行列式中的项. 行标和列标的逆序数之和 所以 不是六阶行列式中的项. 例2 用行列式的定义计算 解 逆序数： 1. 对换改变排列奇偶性． 2. 行列式的三种表示方法 按行排列 按列排列 §5 行列式的性质 通过学习n阶行列式的性质来求解n阶行列式 通常利用行列式的性质将n阶行列式转化为上（下）三角行列式来简化计算 行列式 称为行列式 的转置行列式. 若记 ，则 . 记