线性代数_同济大学(第五版)-第1章课件.pptxVIP

线性代数（第五版）;教师信息;在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组. 但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等.;我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形. 在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具.;第一章 行列式;§1 二阶与三阶行列式;一、二元线性方程组与二阶行列式;求解公式为;其求解公式为;二阶行列式的计算 ;二元线性方程组 ;例1 ;二、三阶行列式;三阶行列式的计算 ;例2 计算行列式 ;方程左端;§2 全排列及其逆序数;引例;问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？;;对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序. n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.;定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.;计算排列的逆???数的方法;例1：;§3 n 阶行列式的定义;一、概念的引入;所以，三阶行列式可以写成 ;二、n 阶行列式的定义;思考题： 成立吗？;;解：;;四个结论：;;思考题：用定义计算行列式;思考题;故 的系数为－1.;§4 对换;一、对换的定义;备注 相邻对换是对换的特殊情形. 一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现. 如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了. ;二、对换与排列奇偶性的关系;;;既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么 ;;于是 与 同时为奇数或同时为偶数. ;经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此. 所以，在一系列对换之后有;定理2 n 阶行列式也可定义为 ;例1 试判断 和;例2 用行列式的定义计算 ;解;1. 对换改变排列奇偶性．;§5 行列式的性质;一、行列式的性质;性质1 行列式与它的转置行列式相等.;性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.;性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数 ，等于用数 乘以此行列式.;推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．;验证;性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, 例如：;验证;性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．;例１;;;;;;例2 计算 阶行列式;例3 设 ;证明;对 D 的前 k 行作运算 ，再对后 n 列作运算 ， 把 D 化为下三角形行列式; (行列式中行与列具有同等的地位, 凡是对行成立的性质对列也同样成立).;计算4阶行列式 ;思考题解答;§6 行列式按行(列)展开;一、引言;例如 ;引理 一个n 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ．;即有;我们以4阶行列式为例. ;思考题：能否以 代替上述两次行变换？; 被调换到第1行，第1列;二、行列式按行（列）展开法则;同理可得;例（P.12例7续）; 证明 用数学归纳法;假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行 减去前行的 倍：; n?1阶范德蒙德行列式;推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即;;例 计算行列式;;例 设 , 的 元的余子式和 代数余子式依次记作 和 ，求;解;;§7 克拉默法则;二元线性方程组 ;一、克拉默法则;其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即;定理中包含着三个结论：;关于克拉默法则的等价命题;例 解线性方程组;;线性方程组;齐次线性方程组的相关定理;练习题：问 取何值时，齐次方程组;思考题;1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件