小数,分数与百分数.docVIP

专题讲座 小学数学“分数、小数和百分数”的教学研究与案例评析 孙兴华（特级教师） 一、《课标》中分数、小数、百分数内容的理解 分数、小数的认识分散安排在两个学段，第一学段是分数和小数的初步认识；第二学段是认识分数和小数概念。百分数的认识安排在第二学段。《标准》中与分数、小数和百分数的认识有关的内容要求如下： 第一学段：能结合具体情境初步认识小数和分数，能读、写小数和分数。能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小。 第二学段：结合具体情境，理解小数和分数的意义 , 理解百分数的意义（参见例一）；会进行小数、分数和百分数的转化（不包括将循环小数化为分数）。能比较小数的大小和分数的大小。 分数、小数是数的概念的一次重要扩展，与学习整数相比，学生对于分数、小数的学习要困难得多。分数、小数无论在意义、书写形式、计数单位、计算法则等方面，还是在学生的生活经验等方面，都与自然数有较大不同。分数、小数的学习重点在于，结合学生的生活经验，初步理解分数和小数意义，能够认、读、写小数和分数。 分数与小数的共同点都是有理数，并且本质上小数是特殊的十进制分数。分数有两个含意，一是表示部分与整体的关系，是一个比率，比如，把一个月饼等分为 5 份，那么其中的一份是 1/5 ，两份是 2/5 。分数还是一种无量纲的数，也就是说，无论是一块小月饼还是一个大蛋糕，如果分五份的话，那么每一份都是 1/5 ，与整体本身的大小无关。应当注意到的是，通过等分得到分数单位：前面所述的 1/5 就是分数单位，而 2/5 表示的是两个分数单位： 2/5 = 2 × 1/5 =1/5 + 1/5 。分数的另一个含意是表示一个具体的量，如 1/3 米， 1/3 千克等。分数大多数情况下是用来表示一个比率，因此，分数的第一种表示在实际教学应当成为重点。小数表示的是具体的数量，和整数一样是数量的抽象。 在分数的意义中，分数单位很重要。利用分数单位，容易得到同分母分数的加法： 1/5 + 2/5 = 3/5 。这个运算表示的是：一个分数单位加上二个分数单位等于三个分数单位。对于分母不同的分数的大小比较以及加法运算，必须对原有的分数单位进一步等分。比如，对分了 5 份的月饼的每份再二等分，得到的新单位是原来整体的 1/10 ，即 1/5 × 1/2 = 1/10 。原来单位与新单位的关系是 1/5 = 2/10 ；进一步，原来单位的两份等价于新单位的四份： 2/5 = 2 × 1/5 = 2 × 2/10 = 4/10 。正是因为这个原因，才有通常所说的分数的性质：分数的分子和分母同时扩大或者缩小相同倍数，分数大小不变；分母不同的分数的大小比较可以化为分母相同的分数比较，进而得到一般的异分母分数的加法运算法则。 小数的表征形式与整数相似，都是十进制。如果以个位为基础，向左扩展就是十位、百位、千位；如果向右扩展就是十分之一位（十分位），百分之一位（百分位）等。从这个意义上说，对小数的理解比对分数的理解更容易一些。 百分数是特殊的分数，其数量上的意义与分数完全相同。由于百分数在实际应用中的特殊性，因此，将百分数作为一个专门的内容学习。所以学习百分数的重点在于应用，用百分数表示现实生活中的实际问题。 小数和分数的学习分为两个学段，第一学段是小数和分数的初步认识，第二学段是小数的意义和分数的意义的理解。两个学段的重点不同，呈现的方式和学习的方式也应当有区别。第一学段的初步认识在于从实际情境中具体的了解小数和分数，重在现实情境的选择和运用。如小数的认识一般从物品的标价引入。以元为单位， 3.5 元就表示 3 元 5 角。分数的初步认识是从分物体出发，把一个饼、一个苹果平均分成 5 份，一份就是它的 1/5 。第一学段的初步认识可以先认识分数，再认识小数。知道 1/10 ，再理解 0.1 就更容易一些。而在第二学段也可以先认识小数的意义，再认识分数的意义。因为，接下来的运算问题，小数要比分数容易，小数的运算过程与整数基本相同，分数的计算要复杂得多。 在学习了小数、分数和百分数之后，应当使学生了解它们之间的关系。可以通过具体的问题帮助学生了解分数、小数和百分数的含义，以及它们的联系。 例一：说明 ， 0.25 和 25% 的含义。 (《标准》例 25) 在这个例子中，使学生了解，分数、小数和百分数都是有理数的常用表示方法，但含义是有所不同的。真分数通常表示部分与整体的关系，如全班同学人数的 ；小数通常表示具体的数量，如一支铅笔 0.25 元；百分数是同分母（统一标准）的比值，便于比较，如去年比前年增长 21% ，今年比去年增长 25% 。希望学生能够理解它们的含义，在生活中能够合理使用。 二、核心内容的深层理解与教学策略 （一）分数的意义 德国数学