第4章 向量组与线性方程组.pptVIP

第4章 向量组与线性方程组的解的结构 4.1向量组及其线性组合 4.2向量组的线性相关性 4.3向量组的秩 4.4 线性方程组的解的结构 * 即 矩阵 4.1向量组及其线性组合 4.1.1 维向量的概念 1． 维向量的定义 个有次序的数 组成的数组称为 维向量，这 个数称为该向量的分量，第 个数 称为第 个分量（或第 个坐标）． 行向量 列向量 即 矩阵 2．零向量 3．负向量 4．向量的相等 5．向量组 同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合称为向量组 4.1.2 维向量的线性运算 1．加法与数乘 为任意实数，则 2．加法与数乘的运算规律（略） 注：利用向量的运算，对于方程组 则 4.1.3　向量组的线性组合与线性表示 1.定义2 (1) 给定向量组 ,对于任何一组实数 ,表达式 称为向量组 的一个线性组合， 称为该线性组合的系数 (2)给定向量组 和向量 ,如果存在一组实数 ,使 则称 是向量组的线性组合，或称 可由向量组 线性表示 2.定理1 可由向量组 线性表示 的充分必要条件是 矩阵 的秩等于矩阵 的秩 注：设 可由向量组 唯一线性表示 的充分必要条件是 例 试问 能否由 线性表示？若能，写出具体表示式 解 所以 能否由 惟一线性表示，且 例 因为, 所以, 不能由 线性表示 4.1.4　向量组的等价 1.定义3 设两个向量组 若向量组 中的每个向量都可由向量组 线性表示， 则称向量组 可由向量组 线性表示 若向量组 与向量组 可以互相线性表示， 则称向量组 与向量组 等价 2.定理2 设 向量组 与向量组 等价 向量组 可由向量组 线性表示 推论： 维向量组 4.2向量组的线性相关性 4.2.1线性相关与线性无关的定义 1.定义4 设有 ,若存在一组不全为零的数 使 ,则称向量组 线性相关，否则称为线性无关．换言之，若 线性无关，则上式当且仅当 时才成立． 2.由定义4可知， (1) 仅含一个零向量的向量组必线性相关; (2) 仅含一个非零向量的向量组必线性无关; (3) 任何包含零向量在内的向量组必线性相关; (4) 向量组 线性相关 齐次线性方程组 有非零解 4.2.2 向量组线性相关的充分必要条件 定理3 向量组 线性相关 线性相关 向量组 例 讨论向量组 的线性相关性 解 由于 ,从而 线性相关 定理4 向量组 线性相关 向量可以由其余 个向量线性表示 向量组中至少有一个 注：两个向量线性相关的充要条件是它们的对应分量成比例 4.2.3 线性相关性的判断定理 定理5 （1）若 线性相关,则 也线性相关 2）线性无关向量组的任何部分组必线性无关 定理6 线性无关,而 若 线性相关,则 能由 线性表示，且表示式是惟一的 定理7 设有两个向量组 若向量组 线性无关，则向量组 也线性无关； 若向量组 线性相关，则向量组 也线性相关 注:向量组的线性相关与线性无关的概念可用于线性方程组． 当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个 方程就是多余方程，此时称方程组（各个方程）是线性 相关的； 当方程组中没有多余方程，则称该方程组（各个方程） 是线性无关（或线性独立）的 . 4.3向量组的秩 4.3.1 向量组的极大无关组与秩的定义 1.定义5 设有向量组 ,如果在 中能选出 个向量 满足 ⑴ 向量组 线性无关； ⑵ 向量组 中任意一个向量都能由 线性表示 那么称 是向量组的一个极大线性无关组， 简称极大无关组；极大线性无关组所含向量的个数 称为向量组 的秩 注: (1) 只含零向量的向量组没有极大线性无关组,规定它的秩为0． (2) 任何非零向量组必存在极大无关组． (3) 向量组的极大无关组与向量组本身等价． (4) 线性无关向量组的极大无关组就是其本身 . (5)向量组的极大无关组一般不是惟一的.但每一个极大无关组 所含向量的个数是惟一的,等于向量组的秩． 列即是列