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第三章习题答案 分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分计误差。 解：1）用梯形公式有： 事实上， 2）Simpson公式 事实上， 3）由Cotes公式有： 事实上， 2．证明Simpson公式具有三次代数精度。 证明： 而当时 左侧： 右侧： 左侧不等于右侧。所以Simpson具有三次代数精度. 3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson计算下列积分. (1)，（3），（4） 解：（1）用复化梯形公式有： ，由复化Simpson公式有： 解（3）： 由复化梯形公式有： 由复化公式有： （4）解： 由复化梯形公式： 由复化Simpson公式： 4．给定求积节点试推出计算积分的插值型求积公式，并写出它的截断误差。 解： 考虑到对称性，有，于是有求积公式 由于原式含有3个节点，故它至少有2阶精度。考虑到其对称性，可以猜想到它可能有3阶精度。事实上，对原式左右两端相等： 此外，容易验证原式对不准确，故所构造出的求积公式有3阶精度。 5．给定积分。 利用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过 取同样的求积节点，改用复化Simpson公式计算时，截断误差是多少？ 如果要求截断误差不超过，那么使用复化Simpson公式计算时，应将积分区间分成多少等分？ 解：(1) =, 当误差时，25.6, 所以取=26。 （2） 6．用Romberg求积方法计算下列积分，使误差不超过。 （1）；（2）；（3）;(4) 解（1）： 计算可以停止。 解（2）： （3）解: 解（4）: 7．推导下列三种矩形求积公式： 证明：将在处Taylor展开，得 两边在上积分，得 将在处Taylor展开，得 两边在上积分，得 将在处Taylor展开，得 两边在上积分，得 8．如果证明用复化梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明其几何意义。 证明：复化梯形公式为 若在上连续，则复化梯形公式的余项为 由于且 所以使 则(1)式成为： 又因为所以 即用复化梯形公式计算积分所得结果比准确值大。 其几何意义：曲线在定义域内是向下凹的，即曲线在曲线上任两点连线的下方。 9．对构造一个至少具有三次代数精度的求积公式。 解：因为具有4个求积节点的插值型求积公式，至少有三次代数精度。如果在上取节点0，1，2，3，则插值型求积公式为： 　　　　　　　　 　　　　其中系数为　 　　　　　　 　　　　　同理求得　　 　　　　　即有：　　 10．判别下列求积公式是否是插值型的，并指明其代数精度： 解：插值型求积公式 其中 则 因此，是插值型的求积公式。 因其求积公式是插值型的，且存在2个节点，所以其代数精度至少是1。 对于时， 可见它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。 11．构造下列求积公式，并指明这些求积公式所具有的代数精度： 解（1）：令原式对于准确成立，于是有 解之得 ， 于是有求积公式 容易验证，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。 解（2）：令原式对于准确成立，于是有 解之得 于是有求积公式 容易验证当时，而 可见，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是3。 解(3)：令原式对于准确成立，于是有 解得: 于是有求积公式 容易验证，当时，而 可见，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是2。 12. 利用代数精度方法构造下列两点Gauss求积公式： 解（1）：令原式对于准确成立，于是有 　　　　　 利用的第1式，