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《勾股定理》主要题型 题型一：直接考查勾股定理，已知两边求第三边 例： :如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 解：∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2=52－32=16 ∴AB= 4 例、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？ 类型二：勾股定理的构造应用例、如图，已知：，，于P. 求证：.   解：连结BM，根据勾股定理，在中，.  而在中，则根据勾股定理有.  ∴ 又∵ （已知）， ∴.  在中，根据勾股定理有 ， ∴.  题型三：在数轴上表示无理数 例、在数轴上作出表示的点． 解：根据在数轴上表示无理数的方法，需先把视为直角三角形斜边的长，再确定出两直角边的长度后即可在数轴上作出． 解：以为斜边的直角三角形的两直角边可以是3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，再用圆规在数轴上作出长为的线段即可． 题型四：利用勾股定理测量长度 例、如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC. 解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2 ，设水深AC= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5 x2+1.52=（ x+0.5）2解之得x=2. 故水深为2米. 题型五：利用勾股定理求线段的长 1、如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长. 解：根据题意得Rt△ADE≌Rt△AEF ∴∠AFE=90°, AF=10cm, EF=DE 设CE=xcm， 则DE=EF=CD－CE=8－x 在Rt△ABF中由勾股定理得： AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102， ∴BF=6cm ∴CF=BC－BF=10－6=4(cm) 在Rt△ECF中由勾股定理可得： EF2=CE2+CF2，即(8－x) 2=x2+42 ∴64－16x+x2=2+16 ∴x=3(cm),即CE=3 cm 例、如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，求AD． 解：∵BC=14，且BC=BD+DC， 设BD=x，则DC=14﹣x， 则在直角△ABD中，AB2=AD2+BD2，即132=AD2+x2， 在直角△ACD中，AC2=AD2+CD2，即152=AD2+（14﹣x）2，整理计算得x=5， ∴AD==12， 类型六：数学思想方法 （一）转化的思想方法 例、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。  解：连接AD． ∵∠BAC=90°，AB=AC． 又∵AD为△ABC的中线， ∴AD=DC=DB．AD⊥BC．且∠BAD=∠C=45°． ∵∠EDA+∠ADF=90°． 又∵∠CDF+∠ADF=90°． ∴∠EDA=∠CDF．∴△AED≌△CFD（ASA）．∴AE=FC=5． 同理：AF=BE=12． 在Rt△AEF中，根据勾股定理得：，∴EF=13。 注：解当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中题型时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 （二）方程的思想方法 例、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的值。  解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°， 则，由勾股定理，得。 因为，所以， ，，。  例、如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。  解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。 因为四边形ABCD是矩形，所