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第八章节 随机变量的数字特征
作业题:第119页第1, 2, 3 题 一、内容概要 一、协 方 差 定义 设(X,Y)是二维随机变量,如果 都存在且 也存在,则称之为 X 与 Y 的协方差,记为 cov(X,Y)。 显然, 即 由协方差定义与方差性质可以得到 即 由协方差定义可知协方差也是一随机变量 函数的期望值,且 即 这也是一个常用的计算协方差的公式。如果 X 与Y 相互独立,则 ,从而 但反过来不一定成立,即如果协 方差为0,X 与Y 不一定相互独立。 例如,设随机变量 X 的分布列为 X 3 -1 0 1 X2 1 0 1 X -1 0 1 ,则容易算得 X 与Y 显然 是不独立的,因为 Y 的取值是由 X 来定的。 例1 设二维随机变量(X,Y)服从正态分布 试求 已知(X,Y)的联合概率密度为: 类似于一维随机变量的正态分布,容易算得, 解 从而 作变量代换 可得 上式内层积分正好是服从正态分布 的随机变量的期望值,所以内层积分为 前面我们已经知道,二维正态分布中 X 与 Y 相互独立等价于 从而 即对二维正态分布,X与Y相互独立的充分 必要条件是 对于协方差,具有以下几条性质: 证明 (1) 由协方差定义, 而 所以 二、 相关系数 定义 对二维随机变量(X,Y),如果 存在,则称之为 X 与Y 的 相关系数,记为 。 可以看出, 是一个无量纲的数, 而且由协方差定义可得 即:X、Y 的相关系数是标准化随机变量 与 的协方差,因为两标准化随机变量 与 的期望值都是0, 四、数学期望的性质 如果 X、Y 是两个随机变量,C 为任意常 数,且 都存在,则数学期望有以 下四条常见的性质。 如果 X 与 Y 相互独立,则 证明 数学期望的四条性质中,前两条比较 直观,容易理解和证明,我们只证明第(3) 和第(4)条 。 (3) 设 是离散型随机变量,分布列为 则由数学 期望的定义, 如果 为连续型随机变量,类似可以证明。 (4) 设 是连续型随机变量,联合概率 密度为 ,则由X、Y 的独立性可得 其中 分别为 X 与Y 的边缘概率密度 , 从而 性质(3)和性质 (4)可以推广到多个随机 变量上,即成立: 推论1 设随机变量 的数学期望 都存在,则 推论2 设随机变量 相互独立, 且数学期望都存在,则 例14 设随机变量 相互独立, 且服从同一个(0—1)分布: 试证 服从二项分布 并求 。 证明 由于每个 可能 取值为0或1,则 可能取值 为0,1,2,…,n. X 取值为k,则要求 中有k个 取值为 1,而其余 个取值为0,至于是 哪 k 个变量取值为 1,共有 种不同
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