2.4连续型随机变量地概率密度.ppt

 二、几个常用的连续型分布 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。 3. 正态分布 其中 ?为实数， ?0 ，则称X服从参数为? ,?2的正态分布,记为N(?, ?2)，可表为X～N(?, ?2). 若连续型随机变量X的概率密度为 (1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=?对称； f(?)＝maxf(x)＝ 正态分布有两个特性： (2) ?的大小直接影响概率的分布 ?越大，曲线越平坦， ?越小，曲线越陡峻，。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布 4.标准正态分布 参数?＝0，?2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0, 1)。 分布函数表示为 其密度函数表示为 它的依据是下面的定理： 标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布. ,则 ~N(0,1) 设 定理1 根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数 制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题. 下面我们来看证明 证 这表明 在查表计算正态分布时,我们经常要用到上述结论. 由此可知 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表. 表中给的是x0时, Φ(x)的值. 当-x0时 5、正态分布表 若 ? ～N(0,1), 若 ~N(0,1) ,则 由标准正态分布的查表计算可以求得， 这说明， ?的取值几乎全部集中在[-3,3]区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. 当? ～N(0,1)时， 6、3?准则 将上述结论推广到一般的正态分布, 时， 可以认为，Y 的取值几乎全部集中在 区间内. 这在统计学上称作“3 准则” （三倍标准差原则）. 14 一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率. 解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数, 故 则Y~B(3,p) 其中 正态分布表 下面介绍数理统计中常用的分位点的内容 １）设X～N(0,1),? 是一个已知正数，若数　满足 7.分位点 2)设X～N(0,1),? 是一个已知正数，若数　满足 反查1-0.0025对应的数 反查1-?/2对应的数 * * 1. 定义:如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，(-?x+?)，使对任意实数x，都有 则称X为连续型随机变量， f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数. 常记为X～ f(x) , (-?x+?) 一、连续型随机变量的概念 2.4 连续型随机变量的概率密度 2. 密度函数的性质 (1) 非负性 f(x)?0，(-?x?)； (2)规范性 性质(1)、(2)是密度函数的充要性质； (4) 若x是f(x)的连续点，则 密度函数的几何意义为 对于连续型随机变量X来说,因为其分布函数F(x)是连续的,所以 即连续型随机变量X取任一值的概率为零,正因为如此,在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时,可以不必考虑这个区间是开区间还是闭区间或是半开区间,即对连续型随机变量X有 例1 设随机变量X的概率密度为 求常数a. 解: 因为 所以 例2：设随机变量X的分布函数如下，求f(x) 解： 例6 已知随机变量X的概率密度为 1)求X的分布函数F(x), 2)求P{X?(0.5,1.5)} 解 1. 均匀分布 则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b) 对任意实数c, d (acdb)，都有 若随机变量X的概率密度为 易知X的分布函数为： 如果X在区间(a,b)上服从均匀分布,则对任一长度为l的子区间(c,c+l),a≤cc+l≤b,有 上式表明:X 落在区间(a,b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的. 这说明X落在区间(a,b)的子区间内的概率只依赖于子区间的长度,而与子区间的位置无关. 在应用中,舍入误差可认为是服从均匀分布的随机变量.假定运算中的数据只保留小数点后5位,第6位四舍五入,那么每次运算的舍入误差 X服从U(-0.5×10-5, 0.5×10-5)分布. 假定班车每隔a分钟发出一辆,乘客到达车站的时间是任意的(具有等可能性),则候车时间是区间(0,a)上的均匀分布. 例7 某公共汽车站每15分钟来一班车，如果乘客到达此站时间 是随机的, 试求他候车至少要等８分钟才能上