等价无穷小量在求函数极限中的应用 毕业论文.doc

等价无穷小量在求函数极限中的应用 摘要 主要讨论了等价无穷小量在求积商、和差及幂指结构函数极限中的应用, 并通过一些具体的例题体现了无穷小量替换在求极限中的灵活性、多样性和重要性. 关键词 等价无穷小量; 积商结构; 和差结构; 幂指结构; 极限; 应用 1 等价无穷小量在求积商结构函数的极限中的应用 1.1等价无穷小定义及重要结论 定义1.1.1 若 则称为时的无穷小量. 定义1.1.2 若 则称与是当时的等价无穷小. 记作 . 应用等价无穷小代换, 必须记住一些基本的等价无穷小量, 如时, ,等. 定理1.1.1 设函数在内有定义, 且有 若存在, 则. 证明 . 定理1.1.2 设函数在内有定义, 且有 若存在, 则. 证明 . 由定理1.1.1和定理1.1.2,可以得到以下一个重要的结论, 它在求积和商的极限中有很重要的作用, 需加强对它的理解. 结论1.1.1 设为时的无穷小量, 若 存在, 则. 证明 . 从结论1.1.1容易看出, 当时, 结论就是上面定理1.1.1的情形; 当去掉分子并略去相关条件, 结论1.1.1就是定理1.1.2的情形, 即两定理是结论的特殊情况, 需要要很好的理解上面的结论. 1.2 定理和结论的应用举例 例1.2.1 求. 解 由于. 故由定理1.1.2得 . 例1.2.2 利用等价无穷小量求极限. 解 由于这个极限的分子不满足上面定理和结论的要求, 需要我们对它进行转化, 使之成为定理和结论需要的形式, 容易看出, 而 故有 . 说明 这道题是结论1.1.1的应用, 应注意的是, 在利用等价无穷小量代换求极限时,要注意所求极限的形式与上面所给定理和结论是否相对应, 不满足时不能随意替换, 需要适当的变形, 变成我们需要的形式, 如刚才这个极限的分子就不与上面的结论要求相对应, 需要上面的适当的变形. 例1.2.3 求极限. 解 由于 由结论1.1.1得 . 说明 这道例题与例1.1.2类似, 虽然形式比较复杂, 但只要严格按照上面的结论就可以迎刃而解了. 2 等价无穷小量在求和差结构函数的极限中的应用 2.1 重要定理及其结论 课本中一般强调等价无穷小代换法则只在乘除的情况下可以使用, 在加减的情况下不能随意使用, 那么究竟在什么样的情况下加减的形式可以使用呢? 现在来着重介绍一下, 下面先来看和的情形. 定理2.1.1 设为时的无穷小量, 且 , 则. 证明 当时, 因为,知 , 且 所以 . 当时, 有已知条件知 , 所以 故. 定理2.1.1表明, 在计算与两个无穷小量的代数和有关的极限运算时, 若其为同阶无穷小且两者商的极限不为时, 则可用与其等价的无穷小量分别替换, 将是运算过程更为简洁. 对于差结构函数的极限类似得如下定理 定理2.1.2 设 为时的无穷小量,且 则. 定理2.1.2表明, 在计算与两个无穷小量的差有关的极限运算时, 若其为同阶无穷小且两者商的极限不为时, 则可用与其等价的无穷小量分别替换, 将是运算过程更为简洁. 定理2.1.1和定理2.1.2解决了等价无穷小量在求和差结构函数的极限中的应用, 下面对定理2.1.1和定理2.1.2推广可得到如下一些结论. 结论2.1.1 设为时的无穷小量, 且 若或存在, 则 或 证明 由所给条件知, 再由结论1.1.1可直接得 . 结论2.1.2 设,,为时的无 穷小量, 且为常数, 若 存在, 则. 证明 由知 从而 即. 同理. 所以 . 结论2.1.2的得到增强了定理的应用范围, 使其应用更加广泛, 进一步体现了等价无穷小代换的广泛性与灵活性, 暗示我们对于一些复杂的极限可以通过等价无穷小代换使之简洁而有效. 2.2 定理和结论的应用举例 例2.2.1 求极限. 解 由于当时,,, 并且 . 故当时, . 又由于当时, , 并且. 故当时, 由结论2.1.2得 . 说明 这道题是对定理和结论的直接应用, 对于既有积商, 又有和差的极限, 首先判断其是否符合和差形式的条件, 然后在应用上面推广的结论, 这样做显然比直接利用洛必达简单些, 在求极限中, 往往我们先利用等价无穷小代换, 再利用洛比达会起到事半功倍的效果. 例2.2.2 求极限为常数. 解 因为当时, 所以由结论2.1.1有 . 例2.2.3 求极限. 解 当时, , 并且 . 故当时, . 又当时, 并且 . 故当时, . 所以由结论2.1.2有=. 说明 例2.2.3跟例2.2.1一样, 只要严格遵守上面推广的结论就可以很快得到结果, 其解法既快捷又简便, 很好的体