数学与应用数学毕业论文关于与与积相等的矩阵对.docVIP

学号： 20105031305 本科毕业论文 院 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2010级 姓 名 王亚辉 论文题目 关于和与积相等的矩阵对 指导教师 张艳艳 职称 讲师 2014年5月3日 目 录 摘 要 1 关键词 1 Abstract 1 Keywords 1 0 前言 1 1 引理及相关定理 2 2 满足的矩阵对的一些性质 6 3 主要结论及证明 7 参考文献 12 关于和与积相等的矩阵对 姓名：王亚辉 学号：20105031305 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导教师：张艳艳 职称: 讲师 摘 要：满足的矩阵对之间有着密切联系.本文从矩阵的秩、迹、非奇异性、特征值、对角化等方面，讨论了矩阵对的一些性质，并给出满足这种矩阵对条件下的一些特殊矩阵在迹与秩，行列式计算等方面的性质. 关键词：特征值；秩；迹；矩阵对；Hermite阵 Matrix having equal sum and product Abstract：If matrix pair satisfies the condition , these two matrices have some connections. In this paper, we discusses some properties of the matrix from the rank , trace, invertibility, eigenvalues, diagonalization, and give the nature of some special matrix which satisfies this matrix in trace and rank, the determinant calculation and so on . Keywords：Eigenvalue; Rank; Trace; Matrix pair; Hermite matrix 0 前言 矩阵的和与乘积是矩阵的两种基本运算，它们的特征值、秩、正定性等方面的关系问题,在理论上和实际应用中都很有意义,例如 矩阵特征值与奇异值估计在矩阵计算、误差分析中有着重要的应用, 因此对矩阵和与乘积的研究得到了许多学者的关注.对于两个阶矩阵,的乘积,一般主要研究它们的可交换性. 但事实上, 矩阵对 ,它们的和与积相等. 这对矩阵在矩阵的秩、特征值和特征向量、正定性、非奇异性等方面都有一些很密切的联系.通过对此题目的探讨不仅可以加深对矩阵的进一步了解同时也将所学知识与实际结合，更加深刻认识特殊矩阵在实际中的重要应用.文中表示阶单位矩阵，为矩阵的秩，表示矩阵的转置，为阶Hermite 矩阵，为矩阵的迹，表示矩阵的共轭转置，和分别为矩阵和的Kronecker积和Hadamard积.以下用表示集合：，即阶矩阵对符合条件. 如矩阵和以及和都是符合条件的矩阵对. 1 引理及相关定理 定义 设且，若，有，则为正定矩阵. 定义 设，若，则称为规范矩阵. 引理 若是正定矩阵，则. 引理2 若，是非奇异矩阵，则是正定矩阵的充要条件是是正定矩阵. 引理 是规范矩阵，若，则是正定矩阵. 引理4 相似的矩阵有相同的特征值. 引理5 阶矩阵，符合条件的充分必要条件是和互为逆矩阵；且若矩阵对符合条件，则及 证明 因为 .即. 又和互为逆矩阵，所以，故. 引理6 若矩阵对符合条件，则存在阶非奇异矩阵和，使得. 证明 由引理1显然得证. 引理 （Hoffman—wieland定理）设，，，均为实对称阵，它们的特征值分别为：，，，则，，的特征值之间有如下关系成立： 引理 （Neumann 不等式） 设，的特征值分别为，，则 （1） 设，的奇异值分别为，，则 （2） 引理 设是交换族，那么存在一个酉阵，使得对每个，是上三角的. 定理1 设、，是正定对称矩阵，，则是正定矩阵的充要条件是. 证明 若是正定矩阵，由引理2知，是正定矩阵,由引理1得.反之，若，则由引理4得. 因 故 因此，是规范矩阵，由引理3知，是正定矩阵.由引理