整数整除的概念与性质.pptVIP

整数整除的概念和性质 我能成为一个科学家，最主要的是：对科学的爱好；思索问题的无限耐心；在观察和收集事实上的勤勉；一种创造力和丰富的常识。 ——达尔文 知识纵横 对于整数a和不为零的整数b，总存在整数m，n使得a=bm+n(０≤nb)，其中m称为商，n称为余数，特别地，当n=0时，即a=bm,便称a被b整除(也称a是b的倍数或b是a的约数)，记为b|a． 知识纵横 　　　 整除有以下基本性质： 1．若a|b，a|c，则a|(b±c)； 2．若a|b，b|c，则a|c； 3．若a|bc，且(a，c)=1，则a|b，特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c； 4．若b|a，c|a，且(b，c)=1，则bc|a 解整除有关问题常用到数的整除性常见特征： 1．被2整除的数：个位数字是偶数； 2．被5整除的数：个位数字是0或5； 3．被4整除的数：末两位组成的数被4整除；被2 5整除的数，末两位组成的被2 5整除； 4．被8整除的数：末三位组成的数被8整除；被125整除的数，末三位组成的被125整除； 5．被3整除的数：数字和被3整除； 6．被9整除的数：数字和被9整除； 7．被11整除的数：奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除． 根据已知条件来确定自然数，是数学活动中常见的一类问题，解这类问题时往往用到下列知识方法： (1)运用整除性 (2)确定首位数 (3)利用末位数 (4)代数化 (5)不等式估算 (6)分类讨论求解等 例题求解 【例1】 一个自然数与1 3的和是5的倍数，与1 3的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是 。 (重庆市竞赛题) 例题求解 【例2】 有三个正整数a、b、c，其中a与b互质且b与c也互质，给出下面四个判断：①(a+c)2不能被b整除；②a2+c2不能被b整除；③(a+b)2不能被c整除；④a2+b2不能被c整除，其中不正确的判断有( )． ． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 (“希望杯”邀请赛试题) 例题求解 【例3】 已知7位数1287xy6是7 2的倍数，求出所有的符合条件的7位数． (第1 5届江苏省竞赛题) 例题求解 【例4】 (1)若a、b、c、d是互不相等的整数，且整数x满足等式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-9=0,求证：4|(a+b+c+d)． (2)已知两个三位数abc与def的和abc+def能被37整除，证明：六位数也能被3 7整除 例题求解 【例5】 (1)一个自然数N被1 0除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被3除余2，被2除余1，则N的最小值是 　　　 ． (北京市竞赛题) (2)若1 0 5 9、1 4 1 7、2 3 1 2分别被自然数x除时，所得的余数都是y，则x—y的值等于( )．(“五羊杯”竞赛题) A．1 5 B. 1 C．1 6 4 D．1 7 4 (3)设N=11…1，（共1 9 9 0个 ）试问N被7除余几?并证明你的结论．　　(安徽省竞赛题) 学力训练 1．若五位数12a34是3的倍数，那么a是　2．如果从5，6，7，8，9这5个数中，选出4个组成一个四位数，使它能被3，5，7整除，那么这些数中最大的是 　 ． 3．已知七位数13ab456能被1 9 8整除，那么a= 　 ，b= ． 4．在1，2，3，…，2 0 0 0这2 0 0 0个自然数中，有 个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除． 学力训练 5．能整除任意3个连续整数之和的最大整数是( ). A．1 B．2 C．3 D.6 6．除以8和9都是余1的所有三位数的和是( ) A．6 4 9 2 B．6 5 6 5 C．7 5 0 1 D.7514 (第1 7届江苏省竞赛题) 学力训练 7．若2 0 0 2 2 0 0 2…2 0 0 2 1 5 (n个2 0 0 2) 被1 5整除，则n的最小值等于( )． 　　　 A．2 B．3 C．4 D．5 (2 0 0 2年北京市竞赛题) 8．有棋子若干，三个三个地数余1，五个五个地数余3，七个七个地数余5。则棋子至少有( )． 　A．2 0 8个 B．1 1 0个 C．1 0 3个 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．