求解谐振物体的速度与加速度.docVIP

求解谐振物体的速度和加速度 一物体沿x轴作简谐振动，振幅，周期。当时，物体的位移而且相x轴正方向运动。试求： 此简谐振动的表达式； 时物体的位置、速度和加速度； 物体从向x轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需的时间。 解：（1）设这一简谐振动的表达式为 现在振幅，周期。则 由初始条件：时，，得到 或者 根据初始速度的条件，。因为t=0时，物体向x轴正方向运动，即，所以 这样，此简谐振动的表达式为 也可以利用旋转矢量法求出，根据初始条件可以滑出振幅矢量的初始位置，如图一所示，从而得到 （2）由简谐振动的表达式，得到 在时， 负号表示速度和加速度的方向都指向x轴负方向。 （3）当设该时刻为得到 因为物体向x轴负方向运动，V0,所以取，这样 当物体第一次回到平衡位置，设该时刻为，由于物体向x轴正向运动，所以此时物体在平衡位置处的相位为，则由， 求得 所以，从处第一次回到平衡位置所需的时间 这也可由振幅矢量图求得，如图二所示。从x向x轴负方向运动，第一次回到平衡位置时，振幅矢量转过的角度为 这就是两者的相位差。 由于振幅矢量的角速度为，所以可以得到 由振动图线求解某点对应的相位 一振动质点的振动曲线如图一所示，试求： 振动表达式； 点P对应的相位； 到达点P相应位置所需的时间。 解：（1）由旋转矢量图，如图二，可知，初相 从到时间内的相位差 而 得到 于是，得到振动的表达式 （2）点P对应的相位 （3）到达点P相应的位置所需的时间为 求解单摆的角速度和线速度 有一单摆，绳长摆球的质量最大摆角为。 单摆的角频率和周期； 设开始时摆角最大，试写出此单摆的振动表达式； 当摆角为时的角速度和摆球的线速度各为多少？ 解：（1）单摆的角频率和周期分别为 (2)开始时摆角很大，则初相，单摆的振动表达式为 （3）单摆的振动角速度 当时， 于是，有 摆球的线速度为 求解振子在斜面上的振动 倾角为的光滑斜面上置一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定在挡板上。上端与一质量为m的物体相连。当t=0时，物体经过平衡位置向下运动的速度为，如图一。如取平衡位置为坐标原点，且沿斜面向上为正。 写出物体的振动表达式； 写出振动系统的总势能（取坐标原点为势能零点）。 解：（1）物体在平衡位置时，弹簧的压缩量为 物体在任意位置时，其x方向所受合力为 所以，物体在x方向上作简谐振动，其角频率为 由题意，当时，x=0,,由初始条件可得 所以，物体的振动表达式为 （2）振动系统的总势能为 求解物体与木板间的振动情况 一物体放在水平木板上，物体与板面间的最大静摩擦系数为0.50。 当此板沿水平方向作频率为2.0的简谐振动时，要使物体在板上不致滑动，振幅的最大值应为多大？ 若令此板改作竖直方向的简谐振动，其频率仍为2.0,要使物体在板上不致滑动，振幅的最大值应是多大？ 解：（1）设物体在离平衡位置x处的静摩擦力为f,此时物体的加速度为因而 要使物体在板上不致滑动，其摩擦力达到最大静摩擦力，即 必须满足条件 即 （2）物体在最大位移时，设在最高位置物体所受的托力为,则 设在最低位置物体所受的托力为，则 要使物体在板上振动时不致滑动的条件是，由此可得 求解几种振子的振动周期 劲度系数为和的两根轻弹簧，按照图一所示的方式与质量为m的小球连接，试求： 各种连接方式的振动周期。 解：如图（a）连接形式，当小球偏离平衡位置的位移为x时，小球受弹簧的拉力，其运动方程为 而 所以， 振动周期 如图（b）的连接方式，当小球偏离平衡位移x时，小球受弹簧的拉力，其运动方程为 即 所以振动周期为 如图（c）的连接方式，若两弹簧的原长分别为和，小球位于平衡位置处，两弹簧的伸长量分别为和，如图(e)所示，此时小球受到的合外力为零，即 如AB间的长度为L，则 联立，解得 所以平衡位置离开A点的距离为 当小球偏离平衡位置位移为x时，小球所受的合力为 小球的运动方程为 所以，小球的振动周期为 如图（d）的连接方式，设小球平衡时两弹簧的伸长量为和，此时小球受到的合外力为零，即 而 联立以上三式，得到小球在平衡位置处两弹簧的总伸长量为 当小球偏离平衡位置位移为x时，两弹簧的伸长量分别为和，而，此时小球的运动方程为 又 联立，解方程组，得到 所以振动周期为 运用转动定律求解棒的摆动周期 一均匀细棒，长为L，质量为m.在其两端用长为的平行细绳悬挂起来，如图一所示。求： 棒以角速度绕中心轴摆动的周期。 解：当棒平衡时，每根细绳的拉力 当细绳偏过一小角度时，相应的棒转过一小角度，由几何关系可见 由于转角很小，近似地认为绳子的拉力不变，仍为此拉力在水平方向上的分力为，因而作用在棒上的力偶矩（即回复力矩） 将及T的值代入，得到 根据转动定律，棒的运动方程为 而 代入，得到 . 所以棒的振动周期为 求解轮棒系统的运动情况 如图一