点列递归数列与数学归纳法.doc

点列、递归数列和数学归纳法 ? 1．已知数列{ an }的前n项和为Sn，且Sn=2(an -1)，则a2等于(? A? ) ? A. 4??????? B. 2???? ????C. 1????? ??D. -2 ? 2．在数列中，，且，则? 35 ． ? 3．在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=__2 n+1-3___. ? 4．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　　2n+1-2 ???. ? 5．已知n次式项式.若在一种算法中，计算的值需要k－1次乘法，计算P3（x0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），则计算P10（x0）的值共需要?? 65 ?次运算. ? 下面给出一种减少运算次数的算法：P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k=0，1，2，…，n－1）.利用该算法，计算P3（x0）的值共需要6次运算，计算Pn（x0）的值共需要????? 2n????? 次运算.????? ? 6．已知函数f (x)=，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f (x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）. ? 求证：当n时， (Ⅰ) ?x?（Ⅱ）. ? ? 【解答】(I)证明：因为 ? 所以曲线在处的切线斜率 ? 即和两点的直线斜率是?以. ? （II）因为函数，当时单调递增， ? 而， ? 所以，即? ?因此 ? 又因为? 令? 则 ? 因为??? 所以 ? 因此? 故 ? 【考点透视】 ? 本专题是等差（比）数列知识的综合应用，同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则． ? 【热点透析】 ? 高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型： ? （1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力． ? （2）给出Sn与an的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力． ? （3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力．理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列． ? 【范例讲解】 ? 【范例1】已知数列中，对一切自然数，都有且． ? 求证：(1)； ? ????? (2)若表示数列的前项之和，则． ? 解析： (1)由已知得， ? 　　　　　又因为，所以, 因此，即． ? 　　　　(2) (1)可知?，即， ? 　　　　　　于是， ? 　　　　　　即． ? 【点睛】从题目的结构可以看出，条件是解决问题的关键，必须从中找出和的关系． ? 【文】记 ? ?? （Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值； ? ?? （Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和 ? 解析（I） ? 整理得 ? ? （Ⅱ）由 ? 所以 ? ? 【范例2】设数列的前项的和， ? （Ⅰ）求首项与通项； ? （Ⅱ）设，，证明： ? 解析?(Ⅰ)由?? ?①? ? 得所以 ? 再由①有 ② ? 将①和②相减得:? ? 整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, …, 因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列，即an+2n = 4×4 n－1= 4 n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, … ? (Ⅱ) ?? ?????? ? 所以 = = ? ? 【点睛】Sn与an始终是我们的重点，需要我们引起重视；注意总结积累数列不等式放缩的技巧． ? 【文】设数列的前n项和为Sn，若是首项为S1各项均为正数且公比为q的等比数列. ? （１）求数列的通项公式（用S1和q表示）； ? （２）试比较的大小，并证明你的结论. ? 解析（１）∵是各项均为正数的等比数列，∴． ? 当n=1时，a1=S1；? ?当． ? ∴ ? （２）当n=1时， ? ?∴． ? 当时， ? ? ∵ ? ①当q=1时， ? ②当 ? ③当 ? 综上可知：当n=1时，．当 ? 若? 若 ? 【范例3】由坐标原点O向曲线引切线，切于O以外的点P1，再由P1引此曲线的切线，切于P1以外的点P2），如此进行下去，得到点列{ Pn}}. ? 求：（Ⅰ）的关系式； ? ????（Ⅱ）数列的通项公式； ? （Ⅲ）当时，的极限位置的坐 ? 解析（Ⅰ）由题得?? ? 过点P1（的切线为 ? 过原点 ? 又过点Pn（的 ? 因为过点Pn-1（?? ? 整理得 ? ? ? （Ⅱ）由（I）