矩阵不仅是讨论线性代数的主要工具与研究对象.doc

第三章 矩阵 矩阵不仅是讨论线性代数的主要工具和研究对象，也是诸多现代数学研究和应用的一个重要工具.1850年西尔维斯特首先使用矩阵这个词.1855年以后,英国数学家凯莱创立了矩阵理论,至二十世纪,矩阵论已成为一个独立的数学分支,出现了矩阵方程论,矩阵分解论,广义逆矩阵等矩阵的现代理论.由于许多线性或非线性问题都可以转化为对矩阵的讨论,所以它在物理、化学、经济、工程以及现代科技的许多领域都有着广泛的应用. 本教材从第四章起,后面各章均与矩阵的化简和应用相关.本章着重讨论矩阵的运算、矩阵的初等变换及可逆矩阵等,是为后面各章内容讨论的重要基础. 3.1 矩阵及其运算 定义1 设是一个数域,,,由这个数作成的一张表 , 称为上的一个行列矩阵,记为或,称为矩阵的元素. 两个矩阵若同为行列矩阵，称它们为同阶矩阵.两个矩阵、若同阶且对应元相等,则称与相等,记为=. ,若,;.则称为零矩阵,记为,简记为0.称为的负矩阵,记为.当时,称为阶方阵(或称阶矩阵). 在阶方阵中,形如 (1) 的方阵称对角形矩阵（简称对角阵）.（1）中若,则称为数量矩阵.而特殊的数量矩阵 称为阶单位矩阵,记为. 在阶方阵中,若＜时,,则称为下三角形矩阵.同样有上三角形矩阵,若(),则称为对称矩阵. 对阶方阵可取行列式,称为的行列式,记为||.由定义,方阵是一张表,而||是一个数.这是两个不容混淆的不同概念. 以下提及的矩阵均为数域上的矩阵. 首先,我们给出矩阵的三种运算：加法,数量乘法和乘法. 定义 2 设,则矩阵 称为与的和,记为. 规定. 由定义,只有同阶矩阵才能相加,法则是对应元相加. 容易证明,矩阵的加法满足如下性质： ； ； ； . 定义 3 矩阵称为数与的数量乘积,记为. 由定义,与为同阶矩阵,数量乘法的法则是将乘每一个元素.我们不难得出数量乘法的如下性质： ； ； ； . 其中. 我们应当注意到数与行列式相乘跟数与矩阵相乘在法则上的区别. 定义4 ,称为与的积,其中. 与的积记为. 由定义,只有当的列数与的行数相同时,才能得,而中的第i行第j列元为的第行元与的第列对应元乘积之和.的行数同的行数,列数同的列数. 例 设 , , 则. 一般地,,这是因为有意义,不一定有意义；即使二者都有意义也未必同阶；即使二者同阶,但对应元未必相同. 矩阵的乘法还不满足消去律,即若,,不一定有,例如 ,,,,但. 此外,两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵,例如 . 但矩阵的乘法满足结合律：. 证略. 矩阵的乘法对加法满足分配律: ; (2) . (3) 只就(2)式证明. 设、均为矩阵,则(2)式两边同为矩阵.又左边第行第列元为 , 与第行第列元相同,故(2)式成立. 对任意,容易得出 , . 由于矩阵乘法满足结合律,当为方阵时, 个连乘有意义,记 , 称为的次幂.规定.显然方幂运算满足 , （为非负整数）. 定义5 设，将的第行元作为第列元,得一个矩阵,称为的转置矩阵,记为. 矩阵的转置有如下性质: 1 , 2 , 3 , 4 . 只就4加以证明. 设,,则与均为矩阵,又的第行第列元为,它是的第行第列元.而的第行第列元是的第行元与的第列对应元乘积之和,即为的第列元与的第行对应元乘积之和，也即是.说明与的对应元相同,故等式成立. 有时为了书写或推算简便,常在不变动矩阵元素的位置的情况下,将矩阵的行或列分成若干小块,称为对矩阵分块.分块后的矩阵称分块矩阵,其中的每一小块称为它的子块. 如将矩阵 分块成 , 其中 . 矩阵 其中为方阵,称为分块对角形矩阵,或准对角形矩阵. 习 题 1. 已知,, 求;. 2. 已知, , 求;. 3. 设, 是同阶方阵,问是否一定成立? 4. 设为任意阶方阵,证明. 5. 证明. 3.2 元向量及其线性相关性 元向量的线性相关性,是我们讨论矩阵、线性方程组、向量空间等内容的极为重要的理论基础.对于本节和下一节给出的一些主要概念和结论,应当引起足够的重视. 定义1 元有序数组称为n元向量,记为(),其中数域,称为它的第个分量. 元向量常用表示. 令,当0 ()时,称为元零向量(简称零向量),记为;若只有第分量为1,其余分量都为0, 则称为单位向量,记为;向量 称为的负向量,记为. 设,,当 时,称与相等,记为=. 在平面直角坐标系中,点的坐标为一个二元向量.含个未知量的线性方程组的解是一个元向量,称为方程组的解向量.矩阵的每行(列)是一个元 (元)向量,称为的行(列)向量.一般地,元列向量记为()T. 定义2 为数域上的元向量,,将,的对