计算机数学基础第四单元辅导 本单元重点欧拉图与哈密顿图.docVIP

《计算机数学基础(1)》第四单元辅导 本单元重点：欧拉图和哈密顿图、平面图和树的基本概念. 代数运算及性质，群的概念，交换群和循环群. 一、重点内容 1. 欧拉图 ( 欧拉通路(回路)与欧拉图 通过图G的每条边一次且仅一次，而且走遍每个结点的通路(回路)，就是欧拉通路(回路). 存在欧拉回路的图就是欧拉图. 欧拉回路要求边不能重复，结点可以重复. 笔不离开纸，不重复地走完所有的边，且走过所有结点，就是所谓的一笔画. (欧拉图或通路的判定 (1) 无向连通图G是欧拉图(G不含奇数度结点(G的所有结点度数为偶数):(定理1) (2) 非平凡连通图G含有欧拉通路(G最多有两个奇数度的结点；(定理1的推论) (3) 连通有向图D含有有向欧拉回路(即欧拉图)(D中每个结点的入度＝出度 连通有向图D含有有向欧拉通路(D中除两个结点外，其余每个结点的入度＝出度，且此两点满足deg－(u)－deg＋(v)＝(1. (定理2) 2. 哈密顿图 (哈密顿通路(回路)与哈密顿图 通过图G的每个结点一次，且仅一次的通路(回路)，就是哈密顿通路(回路). 存在哈密顿回路的图就是哈密顿图. 判断哈密顿图是较为困难的. (哈密顿图的充分条件和必要条件 (1) 在无向简单图G=V,E中(V((3,任意不同结点,则G是哈密顿图.(充分条件，定理4) (2) 有向完全图D＝V,E, 若，则图D是哈密顿图. (充分条件，定理5推论) (3) 设无向图G=V,E,(V1(V，则P(G－V1)((V1((必要条件，定理3) 若此条件不满足，即(V1(V，使得P(G－V!)(V1(,则G一定不是哈密顿图(非哈密顿图的充分条件). 3.平面图 ( 平面图 一个图能画在平面上，除结点之外，再没有边与边相交. 面、边界和面的次数 由连通平面图G的边围成的其内部不含G的结点和边的区域是面，常用r表示. 围成面的各边组成的回路是边界. 边界回路的长度是面的次数，记作deg(r). (重要结论 (1)平面图(所有面的次数之和＝边的2倍)(定理6). (2)欧拉公式：平面图 面数为r，则(结点数与面数之和＝边数＋2)(定理7) (3)平面图(定理8) (判定条件：图G是平面图的充分必要条件是G不含与K3，3或K5在2度结点内同构的子图. 4. 树 (树 连通无回路的无向图. (树的判别 图,T是树的充分必要条件是(六个等价定义) (定理14): (1) T是无回路的连通图； 4. 有关树的求法 (生成树的破圈法和避圈法求法； (最小生成树的克鲁斯克尔求法； (哈夫曼树的哈夫曼求法. 二、实例 例6.1 判别图6－1的两幅图 是否可以一笔画出？ 解 在图6－1(a) 中， deg(v1)=deg(v2)=deg(v3)＝3 有两个以上的结点的度为3. 故在(a)中不存在欧拉通路，不能一笔画出. 在图6－1(b) 中，deg(A)=2, deg(B) =deg(C)= deg(D)=4，deg(E) =deg(F)=3 只有两个奇数度的结点，所以存在欧拉通路，可以一笔画出. 一条欧拉通路，如EDBEFCABCDF. 例6.2 判定图6－2中，两个图是否有欧拉回路？若有请把欧拉回路写出来. 解 在图D1中，v1点的出度为2， 入度为0； v5的出度为0，入度为2， 且这两点出度与入度之差不等于(1， 所以，图D1不存在欧拉通路，图D1 不是欧拉图. 图D2中，各个结点的出度、入度 都相等2，所以存存欧拉回路，图D2 是欧拉图. 一个欧拉回路为v1 a v2 b v3 f v1 e v3 c v4 h v2 g v4 dv1 例6.3 指出图6－3各图是否哈密顿图，有无哈密顿通路， 回路？ 解 (1) 容易判断，存在哈密顿回路，故是哈密顿图. (2) 只有哈密顿通路，无哈密顿回路，故不是哈密顿图. (3) 无哈密顿通路，显然不是哈密顿图. 例6.4 画出具有下列条件的有5个结 点的无向图. 不是哈密顿图，也不是欧拉图； (2) 有哈密顿回路，没有欧拉回路； (3) 没有哈密顿回路，有欧拉回路； (4) 是哈密顿图，也是欧拉图. 解 作图如图6－4(不唯一). ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (1)