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不慎入误区 反思收获大——一道习题的错解分析黄锦书（沈惠娟特级教师工作坊） 习题呈现 如图1所示，线段AB与线段CD交于点O，连接AC、BD，AO=OD，要使得△AOC和△BOD全等，可以添加的1个条件是________（请提供尽可能多的方法）。 图1 坠入云雾 本题是笔者发给学生训练的一道习题，一般的学生填CO=BO、∠OAC=∠ODB或者∠OCA=∠OBD，有些优秀的学生会添加AB=CD，但也有些学生（包括一些优秀的学生在内）填了AC=BD，这些优秀的学生得知填AC=BD不对答案之后困惑了，他们知道，虽然“边边角”不能判定三角形全等，但无论是从题目所给图形上看，还是从三角形全等的结论去逆推，都有AC=BD。 疑云密布标准答案一定正确吗？不一定，然而，数学的思维是严密的，认为正确需要推理论证，认为错误需要说明理由或举出反例。我试着去证明，过程如下：证明1：如图2所示，连接AD、BC，图2∵AO=DO，∴∠OAD=∠ODA，又∵AC=BD∴△ADC与△ADB的外接圆为等圆或共圆（边相等，同侧所对的圆周角相等，可用反证法来证明，在此略过）∴∠ACD=∠ABD，易证△AOC≌△BOD。正难则反，这题正面证明比较难，就用反证法，又得到下面这种方法。证明2：如图3所示，图3假设△AOC与△BOD不全等， ∵AO=OD，AC=BD，则OC≠OB，否则△AOC与△BOD全等。∴在线段OB上或OB的延长线上存在一点E，使得OE=OC，假设点E在线段OB上（如图3所示，若在OB的延长线上，方法一样），易证△AOC≌△EOD，∴DE=AC，∴DE=BD，作DF⊥OB，垂足为F，∵EF≠BF，根据勾股定理，有DE≠BD，前后矛盾，所以△AOC≌△BOD。上述证明过程好像每一步都有理有据，如果答案正确，那么证明过程错在哪里呢？是不是真的答案错了，要不然能举出反例吗？ 拨云见日 解题回顾是解题活动的最后一个环节，也是解题活动最重要的一个环节[1]。对于解题回顾，波利亚的解题表的回顾环节的第一句提示语是“你能验证这个结论吗？” 为了验证答案是对是错，我利用几何画板进行操作发现：如图4、图5、图6、图7所示，当∠BOD≥∠OBD或∠OBD≥90。时，以D为圆心、BD为半径的圆弧与线段OB的交图4 图5点除了端点外并无其它点，所以△BOD唯一确定，此时填AC=BD正确； 图6 图7如图8所示 ，当 ∠BOD∠OBD90。时，以D为圆心、BD为半径的圆弧与线段OB的交点中有一点不是端点，所以△BOD并不唯一确定，有2种情况，此时填AC=BD是不正确的。如图9所示，OA=OD，AC=BD，但是△AOC与△BOD并不全等。图8图9至此，我们通过动手操作、观察分析不难发现，原来的错解是受到了题目所给图形的干扰，以固定不变的观点去读图分析，进入了审题误区。由此我们也知道，如果原题中没有图，而是自己动手画图，可能就不会受到干扰也不会引起误解了。 一片晴空 波利亚在解题表的回顾环节中给出提示语：“你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？你能不能把这个结果或方法用于其它问题？”[2]变式练习是中国数学教育的一个创造（张奠宙语），变式的目的是引导学生对数学问题从多层面、多角度进行延伸探究，以培养学生的发散思维，发展其创造力。对这道题进行变式，改变题目条件：如图1所示，线段AB与线段CD交于点O，连接AC、BD，要使△AOC和△BOD全等，可以添加的2个条件是_________（请提供尽可能多的方法）。如图10所示，线段AB与线段CD交于点O，连接并延长CA、BD交于点E，CA=BD，要使△ABE和△CDE全等，可以添加的1个条件是_________（请提供尽可能多的方法）。图10现在再回过头去分析，实际上，原来问题的实质是在线段OB上是否存在一点（不是线段端点）到A点的距离等于AC，或是以D为圆心、BD为半径的圆弧与线段OB的交点中有不是端点的点。在上课讲到三角形全等的判定时，在说明“边边角”不能判定三角形全等时，自己都曾经举出反例（如图11所示，AC=AD，AB=AB，∠B=∠B，但是△ABC和△ABD并不全等）分析说明给学生。此题实质也一样，可是为何一开始自己也犯糊涂了呢？图11 罗增儒教授认为学会学解题的四个阶段是简单模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析，并指出解题的关键是学会解题分析， 自觉分析是对解题过程进行自觉的反思，使理解进入到深层结构，阶段不仅反思计算是否正确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多更简单的途径等，而且要提炼怎样解题和怎样学会解题的理论启示。[3]也许，自己还没有