直线斜率的应用点击.doc

地址：湖北省广水市第一中学高三数学组 刘才华 邮编：432700 电话Email：lch2019@163.com 高二年级第9期 栏目：专题突破 直线斜率的应用点击 湖北 刘才华 直线的斜率是反映直线倾斜程度的一个量，既与直线自身的倾斜角和方向向量紧密相连，又其计算公式也是解决许多数学问题的重要工具和数学模型，解题时，如能依据问题的结构特征，构造条件，灵活地运用直线的斜率，能使问题解决来得迅速、简捷而又直观．下面，本文就直线斜率的几类应用逐一点击，供同学们学习参考． 1 应用斜率求直线的倾斜角 例1 直线的倾斜角是（ ） A ； B ； C ； D 解析 直线的斜率为，又，所以，则直线的倾斜角为，所以选C. 例2 已知直线经过点、（）两点，求直线的倾斜角的范围. 解析 直线的斜率，因为，所以≥0，即≤1，设直线的倾斜角为，则≤1，又，所以. 点评 求直线的倾斜角要注意两点：第一，要先求出直线的斜率，判断的正负，代入相应的倾斜角公式.第二，求倾斜角的范围时，也要先求出斜率，通过研究斜率的范围来确定倾斜角的范围，并且注意斜率不存在时，倾斜角为. 2 应用斜率求直线的方向向量 例3 已知直线的倾斜角为30°，直线，则直线的单位方向向量为_______. 解析 由已知，直线的斜率为，因为，所以直线的斜率，所以直线的单位方向向量为. 点评 关于直线的（单位）方向向量要注意两点：第一，直线的单位方向向量有两个为，并且当斜率不存在时，单位方向向量为.第二，若直线的方向向量为，当时，直线的斜率为；当时，直线的斜率不存在. 3 应用斜率求最值 例 4 已知实数满足，当2≤≤3时，求的最大值和最小值. 解析 如图1，点在线段上运动，其中两点的 坐标分别为、，因为的几何意义是直线 的斜率.又,，从图象上易得，的最大值为2，最 小值为. 例5 求函数的最大值和最小值. 解析 因为函数可变形为，所以可看作是点与点连线的斜率.点是曲线上的点，即，是如图2示的单位圆. 设过点的直线, 由相切条件或圆心 到直线的距离等于1，即，解之得或. 所以，. 点评 应用斜率公式将最值问题转化为直线斜率的最值，从探求直线的临界位置入手，这样快速直观而又准确清晰的解决问题. 4 应用斜率解决与数列有关的问题 例6 数列为等差数列，其中，，求数列的通项. 解析 因为数列为等差数列，当公差不为0时，通项是关于的一次式，所以点列在同一条直线上，又直线的斜率，即，所以数列的通项. 例7 等差数列的前项和为30，前项和为100，则其前项和为________. 解析 数列的前项和，即，是关于的一次式，故数列也为等差数列，所以点列在同一条直线上，又直线的斜率为，即，代入数据有，所以前项和. 点评 当等差数列的公差不为0时，通项和都是关于的一次式，点列和点列都分别是直线上的点，这样就可利用直线的斜率解决与数列有关的问题. 5 应用斜率解决与不等式有关的问题 例8 若，则（ ） A ； B ； C ； D 解析 因为，表示函数的图象上的点与坐标原点连线的斜率，如图3，、、， 则. 由图象可知：. 即，所以选C. 例9 已知，且，求证. 解析 不等式的左边可变形为，其几何意义为 点与点连线的斜率.如图4示， 因为，所以点在第一象限且在直线的下方， 又因为，所以点在第三象限且在直线上. 连结、，则,. 由图象知，直线、的倾斜角都为锐角，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，所以，即. 点评 这里将不等式问题，通过变形，构造出斜率公式，利用数形结合的思想将不等式问题转化为比较斜率的大小，使问题直观简捷地解决，但须注意画辅助图形时要尽量画得准确些. 链接练习 1．直线的倾斜角的范围是_____ ,当时，直线的倾斜角为______. 2．已知直线：，向量是直线的一个方向向量，（1）求实数的值；（2）求直线的单位方向向量. 3．已知实数满足，当2≤≤3时，求的取值范围. 4．已知函数，若，则三个数、、从大到小的顺序为___________. 5．设是各项均为正数的等比数列的前项和，求证：. 6．求函数的最小值 链接练习参考答案 1．；. 2．(1)或；（2）当时，直线的斜率为，单位向量为；当时，斜率，单位向量为. 3． (提示将视为以、为端点的线段上的点与点连线的斜率，作出图象，找到边界值、,求出答案). 4． 5．证明 设该数列的首项为，公比为，则，，即点、均在直线，由于， 且，所以画出如图5的直线，并且，, 由图象知，，即，所以成立. 6. 因为可以看作是 点、点连线的斜率，又点的轨迹方程为 ，即（）.其图象如图6， 当点坐标为时，斜率取得最小值为.所以的最小值为. 1 图1 图2 图3 图