2有限差分法.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * cem@uestc.edu.cn 超松弛迭代法 高斯-赛德尔法是雅可比法的改进方法，主要针对减少内存消耗，只需存储一组完整的数组。它采取的措施是对每一次迭代尽量采用必威体育精装版计算的值来替换上一次迭代的旧值。结果收敛速度比雅可比法快一倍。 cem@uestc.edu.cn 超松弛迭代法 逐次超松弛法是对高斯-赛德尔法的改进，该方法的核心是借助于一收敛因子w作用到高斯-赛德尔迭代公式。 当时w＝1，就回到高斯-赛德尔法。当w2时，迭代过程变得及其不稳定。只有1w2，才能提高收敛速度。 cem@uestc.edu.cn 超松弛迭代法 正方形第一类边界条件时 长方形第一类边界条件时 cem@uestc.edu.cn 场强与电、磁积分量的计算 通过上述差分方程组的求解，在获得场域内各结点上待求位函数后，往往还需求场中的场强分布，以及其他有关的积分特性（如磁通量和磁导、电导、电容等磁路及电路参数等）。 cem@uestc.edu.cn 场强与电、磁积分量的计算 无论是静电场、恒定电流场或恒定磁场，其通量可一般地表示为 所分析的静电场中的电容C、恒定电流场中的电导G或恒定磁场中的磁导等电路或磁路参数P就可按下式计算 cem@uestc.edu.cn 典型算例分析 设长直接地金属槽的横截面如图所示，其侧壁与底面电位均为零，顶盖电位的相对值为10。试求槽中间电位分布 cem@uestc.edu.cn 典型算例分析 ※、场问题分析。直角坐标系，槽内电位函数满足Laplace方程，构成如下的第一类边值问题 cem@uestc.edu.cn 典型算例分析 ※、离散场域。用简洁的 正方形网格对场域D各方向 进行等分剖分p，q ※、场域内差分格式。采用Laplace五点差分格式 cem@uestc.edu.cn 典型算例分析 ※、超松弛迭代计算。用超松弛迭代法计算差分方程 ※、边界条件。本例给定为第一类边值，边界条件的差分离散化应直接赋值方式 cem@uestc.edu.cn 典型算例分析 ※、初值。取零初值 ※、收敛条件指标。规定当网格内点的相邻两次迭代近似值的绝对误差的绝对值小于给定精度时，终止迭代。 cem@uestc.edu.cn 典型算例分析 计算流程 cem@uestc.edu.cn 编写高斯赛德尔迭代计算函数 二维数组，区域大小，收敛因子 void CmpGuassSeuder(double **phi,int nx,int ny,double ratio,double eps) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 有限差分法 主要内容 差分和差商 有限差分格式 不同媒质分界面上的差分格式及定解问题的差分格式 有限差分法的求解 场强与电、磁积分量的计算 典型算例分析 介绍 有限差分方法是一种微分方法，自上世纪五十年代以来得到了广泛的应用，该方法概念清晰，方法简单，直观。虽然其与变分法相结合所形成的有限元法更有效，但有限差分还是以其固有特点在数值计算中有其重要地位，是应用最多的一种数值方法。 为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法是将定解区域（场区）离散化为网格离散节点的集合。并以各离散点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定解问题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组解出各离散点处的待求函数值——离散解。 1、差分与差商 用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。这一点由微分原理保证的，当自变量的差分趋于零时，差分变成微分 差分与差商 前向差分 后向差分 中心差分 差分与差商 通过泰勒公式分析上面差分精度，在点上的一阶导数的逼近度可由泰勒公式展开 两式相减 差分与差商 前向、后向差分截断于 ，具有h的一阶精度，而中心差分法截断于 ，具有h的二阶精度，中心差分的精度比较高。 差分与差商 对偏导数，可仿照上述方法，将表示为： 差分格式 二维Possion方程差分格式 有限差分法的网格划分，通常采用完全有规律的分布方式，这样可使每个离散点上得到相同形式的差分方程，有效的提高解题速度。对能填满平面域的三种规则网格（正方形，正三角形和正六边形）的划分方式，经常采用的是正方形网格划分， 差分格式 一阶偏导数差分格式 可采用待定系数的方法，提高差分格式的精度，它的思路： 1、3结点与0结点在x方向的差分用泰勒公式展开，它们各自占有一定的权系数，以截断误差来计算系数 差分格式 忽略h3以上的高次