归纳函数极限的计算方法.doc

归纳函数极限的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求极限的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 The sum of the Method of Computing Function Limit Abstract：The write sums up in this article several ways of extacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on. Key Words：Function Limit；Computing method；L’Hospital rules; Four fundamental rules 前言 极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念，极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具，因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法，对学好数学分析是十分重要的.求极限的方法很多且非常灵活，本文归纳了函数极限计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1函数极限的定义 设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数，若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作或. 2.求函数极限的方法总结 极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极限，本着化繁为简的思想，产生了极限的四则运算法则；由“数列的单调有界准则”和“迫敛准则”产生了两个重要极限和无穷小量的性质—有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量；由中值定理得出了罗必达法则.以上也是我们求极限的理论依据，但在个依据下求极限又有各自的技巧. 2.1依据函数极限的迫敛性求极限 函数极限的迫敛性 设，且在某内有，则. 例1求极限 解：当时，有 而,由函数迫敛性可得 同理可得时,，即 注：依据函数极限的迫敛性求极限时，需判断该函数的上下范围，这时通常用到以下不等式： 2.2 依据极限的四则运算求极限 依据极限的四则运算法则求极限的题目，除了直接使用极限的四则运算法则外，往往还有以下几种类型： 分母极限为0:可先采用“约简分式”或“分子、分母有理化”进行恒等变形，将分母极限化为非零，然后再运用法则： 例2 求极限（和都是正整数） 解：原式= = 等未定型：因“”不是一个数，故该类型的题目不能直接使用运算法则，但可以利用“无穷大量的导数”、“分式有理化”或“通分”等方法，将其转化为极限存在后，再运用法则计算. 例3求极限 解：原式= = 2.3 依据两个重要极限求极限 两个重要的极限:，. 函数经过一定变形，若能出现以下情况： 时，也可采用重要极限来求. 例4 求极限 解：原式= 例5 求极限 解：原式= 2.4依据等价无穷小替换求极限 求函数极限，若能恰当采用等价无穷小的代换，可以起到变难为易，化繁为简的作用.需要记住一些常见的等价无穷小, 如当时: 例6 求极限 解:原式 注:用等价无穷小替换求极限时，应注意只能用分子、分母整个部分去代换，或是把函数化成积的形式实行无穷小代换，对极限式的相加相减部分不能随意替代. 2.5 依据洛必达法则求极限 洛必达法则: 型不定式极限 若函数和满足: (i); (ii)在点的某空心邻域内两者都可导, 且 (iii)(可为实数, 也可为或), 则 型不定式极限 若函数和满足: (i); (ii)在点的某右邻域内两者都可导, 且 (iii)(可为实数, 也可为或), 则 因此函数为型，通常可采用此法，如下： 例7计算极限 解：原式 注：“洛必达法则”是求函数极限的有力工具，但在运用中，由于积、商、复合函数的求导会使分子、分母的项数增加, 导致求极限过程繁琐，因此用法则求型的极限是不够的，需综合运用其它方法才能发挥作用. 2.6 依据麦克劳林展开式求极限 一般常见函数的麦克劳林公式: 利用洛必达法则求型极限时，其结果是化成某阶导数的比，而麦克劳林展开式的各项系数正分别含着各阶导数的值，因此对型函数极限也可采用此法. 例8 求极限 解： 原式= 注：若本题采用洛必达法则去做，会导致计算过程繁杂. 2.7 运用函数的连续性求极限 函数的连续性定义: 设函数在某内有定义, 若 , 则称在点连续. 若函数在区间上的每一点都连续, 则称为上的连续函数. 例9 计算极限 思路：为连续函数, 为的定义区间上的一点，则. 解：原式= 2.8 运用导数的定义求极限 导数的定义: 设函数在点的某邻域内有定义, 若极限 存在, 则称函数在点处可导, 并称该极限值为函数在点处的导数, 记作.