1.1.2_瞬时速度和导数.pptVIP

1.1.2 瞬时速度与导数 中国人民大学附属中学 * * 一．速度问题 一汽车3小时走了120公里，则它的平均速度为40公里/小时。即在时间t内，物体运动了距离s，则它的平均速度为 1. 平均速度： 2. 瞬时速度 瞬时速度怎么定义，又如何求出呢？ 自由落体运动物体下落高度公式为 求下落t=1秒时的瞬时速度，我们可以先求出1秒到t秒间的平均速度， 一般地，求时刻t的速度，可以考虑当t变到t’时平均速度的极限值。这时用记号 它们分别叫变量t的改变量和变量s的改变量。 当 时，相当于 ，这时平均速度为 二、导数的定义： 许多科学和社会问题都可以归结为求函数改变量与自变量改变量之比的极限问题，这个概念就是导数概念。 定义：y=f(x)在x0点附近有定义，对自变量任一改变量△x，函数改变量为 △y=f(x0+△x )－f(x0)，若极限 存在，称该极限值为f(x)在x0点的导数。 如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导。这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f ’(x)。于是，在区间(a，b)内，f ’(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数，记为f ’(x)或y’(或 )。 例1．火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0？ 解：火箭的运动方程为h(t)=100t－ gt2， 在t附近的平均变化率为 =100－gt－ g△t。 当△t→0时，上式趋近于100－gt。 可见t时刻的瞬时速度h’(t)=100－gt。 令h’(t)=100－gt=0，解得 所以火箭熄火后约10.2s向上的速度变为0. 例2．一正方形铁板在0°C时，边长为10cm，加热后铁板会膨胀，当温度为t°C时，边长变为10(1+at)cm，a为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率。 解：设温度的增量为△t，则铁板面积S的增量 △S=102[1+a(t+△t)]2－102(1+at)2 =200(a+a2t)△t+100a2(△t)2. 因此 =200(a+a2t)+100a2△t. 所以铁板对温度的膨胀率为200(a+a2t). 令△t→0， 得S’=200(a+a2t). 例3. 求函数y=x2在点x=3处的导数。 解：因为△y=(3+△x)2－32=6△x+(△x)2. 所以 =6+△x， 令△x→0， →6 所以函数y=x2在点x=3处的导数为6. 例4．质点M按规律s(t)=at2+1作直线运动，若质点M在t=2时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值。 解：因为△s=a(t+△t)2+1－(at2+1) =2at△t+a(△t)2， 所以 =2at+a△t， 当△t→0时，s’=2at， 由题意知t=2时，s’=8，即4a=8，解得a=2. 例5．已知y=ax2+bx+c，求y’及y’|x=2。 解：△y=a(x+△x)2+b(x+△x)+c－(ax2+bx+c) =(2ax+b)△x+a(△x)2， =(2ax+b)+a△x， 当△x→0时，y’= 2ax+b， 当x=2时，y’|x=2=4a+b。 练习题 1．一物体的运动方程是s=3+t2，则在一小段时间[2, 2.1]内相应的平均速度为（ ） A．0.41 B．3 C．4 D．4.1 D