2013年高考数学竞赛专题—空间和立几0.docVIP

高中数学竞赛专题讲座 ——空间向量与立体几何 一 空间向量部分 （一）基础知识 1.空间向量的定义 (1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (2)向量的表示有三种形式：a,，有向线段. 2.空间向量的加法、减法及数乘运算. (1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即++…=0. (2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意-=的逆应用. (3)空间向量的数量积.注意其结果仍为数. 3.共线向量与共面向量的定义. (1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥ba=b,若A、B、P三点共线,则对空间任意一点O,存在实数t,使得=(1-t)+t,当t=时,P是线段AB的中点,则中点公式为=(+). (2)如果向量a所在直线OA平行于平面α或a在α内,则记为a∥α,平行于同一个平面的向量,叫作共面向量，空间任意两个向量，总是共面的. 如果两个向量a、b不共线.则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y.使p=xa+yb. 对于空间任一点O和不共线的三点A、B、C，A、B、C、P共面的充要条件是=x+y+z（其中x+y+z=1）. 共面向量定理是共线向量定理在空间中的推广，共线向量定理证三点共线，共面向量定理证四点共面. 4.空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个惟一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc.特别的，若a、b、c不共面，且xa+yb+zc=O，则x=y=z=0.常以此列方程、求值.由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，隐含着三向量都不是0.空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底.要注意，一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一向量. 5.两个向量的数量积. a·b=|a|·|b|·cos（a,b），性质如下： （1）a·e=|a|·cosa,e；（2）a⊥ba·b=0. （3）|a|2=a·a；（4）|a|·|b|≥a·b. 6.运用法向量求空间角 向量法求空间两条异面直线a, b所成角θ，只要在两条异面直线a, b上各任取一个向量，则角=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cosθ=, 不需要用法向量。 （1）运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为=（x, y, 1)，则直线AB和平面α所成的角θ的正弦值为 sinθ= cos(-θ) = |cos, | = （2）运用法向量求二面角 设二面角的两个面的法向量为，则或π-是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定是所求，还是π-是所求角。 7.运用法向量求空间距离 （1）求两条异面直线间的距离 设异面直线a、b的公共法向量为，在a、b上任取一点A、B，则异面直线a、b的距离 d =AB·cos∠BAA＇= 略证：如图，EF为a、b的公垂线段，a＇为过F与a平行的直线， 在a、b上任取一点A、B，过A作AA＇EF，交a＇于A＇， 则，所以∠BAA＇=（或其补角） ∴异面直线a、b的距离d =AB·cos∠BAA＇= * 其中，的坐标可利用a、b上的任一向量（或图中的），及的定义得 ① 解方程组可得。 （2）求点到面的距离 求A点到平面α的距离，设平面α的法向量法为，在α内任取一点B，则A点到平面α的距离为d =，的坐标由与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设，下同）。 （3）求线面的距离 求直线a到平面α的距离，设平面α的法向量法为，在直线a上任取一点A，在平面α内任取一点B，则直线a到平面α的距离d = （4）求两平行平面的距离 设两个平行设平面α、β的公共法向量法为，在平面α、β内各任取一点A、B，则平面α到平面β的距离d = 7.证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线a和平面α、β，两个面α、β的法向量为，则 （二）方向与真题 例1 如图，直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，为上的点，且平面，求点到平面的距离。 解：容易知道，平面，知，中，，为中点，故，以为原点，射线、、分别为、轴建立空间直角坐标系，如图所示。则，，，，