2013高中数学技能特训8-8 曲线和方程 含解析.docVIP

8-8曲线与方程(理) 基础巩固强化1.若点P到直线y＝－2的距离比它到点A(0,1)的距离大1，则点P的轨迹为(　　) A．圆　　　　　　　　　B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 [答案]　D [解析]　由条件知，点P到直线y＝－1的距离与它到点A(0,1)的距离相等，P点轨迹是以A为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线． 2．已知平面上两定点A、B的距离是2，动点M满足条件·＝1，则动点M的轨迹是(　　) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 [答案]　B [解析]　以线段AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设M(x，y)， ·＝1，(－1－x，－y)·(1－x，－y)＝1， x2＋y2＝2，故选B. 3．(2012·浙江金华十校模拟)如果椭圆＋＝1(ab0)的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为(　　) A. B. C. D．2 [答案]　A [解析]　设椭圆、双曲线的半焦距分别为c、c′，由条件知椭圆＋＝1的离心率e＝＝ ＝＝＝， 则双曲线－＝1中：e2＝＝＝1＋＝. 所以e＝. 4．设x1、x2R，常数a0，定义运算“*”，x1]x*a))的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 [答案]　D [解析]　x1]x*a)＝＝2， 则P(x,2)． 设P(x1，y1)，即，消去x得， y＝4ax1(x1≥0，y1≥0)， 故点P的轨迹为抛物线的一部分．故选D. 5．(2012·长沙一中月考)方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　) A．两条直线 B．两条射线 C．两条线段 D．一条直线和一条射线 [答案]　D [解析]　原方程化为 或－1＝0， 2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故选D. 6．(2011·天津市宝坻区质量检测)若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆＋y2＝1短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为1，则该双曲线的方程为(　　) A．x2－y2＝1 B．y2－x2＝1 C.－y2＝1 D.－x2＝1 [答案]　B [解析]　椭圆＋y2＝1的短轴端点为(0，±1)， 离心率e1＝＝.双曲线的顶点(0，±1)， 即焦点在y轴上，且a＝1，离心率e2＝＝， c′＝，b＝1，所求双曲线方程为y2－x2＝1.故选B. 7．设P为双曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是________． [答案]　x2－4y2＝1 [解析]　设M(x，y)，则P(2x,2y)，代入双曲线方程得x2－4y2＝1，即为所求． 8．(2011·聊城月考)过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x、y轴交于A、B两点，则AB中点M的轨迹方程为________． [答案]　x＋y－1＝0 [解析]　设l1：y－1＝k(x－1)，k≠0， 则l2：y－1＝－(x－1)， l1与x轴交于点A(1－，0)，l2与y轴交于点B(0,1＋)，AB的中点M(－，＋)， 设M(x，y)，则x＋y＝1. 即AB的中点M的轨迹方程为x＋y－1＝0. 9．(2011·北京理，14)曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a1)的点P的轨迹．给出下列三个结论： 曲线C过坐标原点； 曲线C关于坐标原点对称； 若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2. 其中，所有正确结论的序号是________． [答案]　 [解析]　设P(x，y)，由|PF1|·|PF2|＝a2得， ·＝a2(a1)，将原点O(0,0)代入等式不成立，故错；将(－x，－y)代入方程中，方程不变，故曲线C关于原点对称，故正确；设F1PF2＝θ，则SF1PF2＝|PF1||PF2|·sinθ＝a2sinθ≤a2，故正确． 10．已知双曲线－＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P是双曲线上任一点，Q是P关于x轴的对称点，求直线A1P与A2Q交点M的轨迹E的方程． [解析]　由条件知A1(－3,0)，A2(3,0)，设M(x，y)，P(x1，y1)，则Q(x1，－y1)，|x1|3， 直线A1P：y＝·(x＋3)，A2Q：y＝·(x－3)，两式相乘得＝， 点P在双曲线上，－＝1，＝－， ＝－，整理得＋＝1(xy≠0). 能力拓展提升11.长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，＝2，则点C的轨迹是(　　) A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 [答案]　C [解析]　设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则 a2＋b2＝9， 又＝2，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)， 则 把代入式整理可得：x2＋y2＝1.故选C. 12．(2012·天津模