4-1向量的内积和正交-4168.ppt

线性代数 第十六讲 王升瑞 第四章 一、向量的内积与正交 四、实对称矩阵的对角化 相似矩阵与二次型 三、相似矩阵 二、方阵的特征值与特征向量 五、二次型及其矩阵表示 六、化二次型为标准形 一、向量的内积 二、正交向量组 三、正交矩阵 第一节 向量的内积与正交 第四章 向量夹角 复习：向量的数量积(内积） 设 分别为直角坐标轴上的单位向量，则 向量长度 一、向量的内积 设 称 为向量 注：向量的内积是一种运算。 定义1 设 都是 n 维向量， k为实数则有 下面证明 30。 性质 设 称 的长度。 称为单位向量。 定义2 显然，若 那么 与任何向量都正交。 定义3 对于 证明 例1 例2 将向量 单位化。 解 二、正交向量组 非零向量组 如果其中任意两个不 同的向量都是正交的，即 则称该向量组为正交向量组。 正交向量组有如下性质： 定义4 定理1 一定线性无关。 证明 设有一组数 使 但线性无关 向量组却不一定是正交向量组。 例如 是线性无关的向量组，但是由于 因此，它不是正交向量组。 正交向量组是线性无关的向量组， 例3 单位化得  求与 都正交的单位向量。 设所求向量为 解 即 为所求的向量. 令 得 都是的标准正交基。 为标准正交基。 及 定义5 在标准正交基 下的坐标。 解 例4 求 为线性无关向量组。 令 由线性无关向量组出发构造正交向量组的办法： 解得 施密特正交化方法 有 为线性无关向量组。 由线性无关向量组出发构造正交向量组的办法： 解得 设 使 施密特正交化方法 定理2 中的一个 令 线性无关向量组。 … 是正交向量组， 正交化，取 解 先将 化成标准正交基. 例5 试用施密特正交化过程将线性无关的向量组 即是一组标准正交基。 单位化 为等价的单位正交化向量组。 在本例的计算过程中， 的分量是分数， 为了计算 方便，我们也可以取 来代替 此时 同样可得正交向量 然后再标准化， 仍可得标准正交向量组 三、正交矩阵 性质2 的列(行)向量组为正交单位向量组 标准正交基)。 证明 设 则 证明 定义6 性质1  是正交矩阵则A可逆且 设 A 为正交阵 即 A 的 n 个列向量是单位正交向量组。 由于上述过程是可逆的， 因此当 n 个 n 维列向量是 单位正交向量组时， 它们所构成的矩阵一定是正交阵。 观察下列矩阵是否为正交矩阵 解 则 A 是正交矩阵。 例6 则 C不 是正交矩阵。 性质3 设 A、B 都是正交矩阵， 则 AB 也是正交矩阵。 证 因为 A 、B都是正交矩阵，则 则 AB 也是正交矩阵。 性质4 设 A 是正交矩阵，则 也是正交矩阵。 性质5 设 A 是正交矩阵，则 例7 阶正交阵，求证 证明 P164 1; 2; 3; 41,; 51,3 ;6;7;82;9;10. 作业