等差等比应用2.doc

等差等比综合应用 例 已知数列,是它的前项和,且 (1)设,求证:数列是等比数列 (2)设,,求证:数列是等差数列 解:(1) ,由此可得是等比数列 且首项 (2) 可知是首项的等差数列, 例 数列的前n项为，N． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； 解：（1）由，得，则有 ，即． ∵，∴数列是等比数列． （2）． 由（1）知，． ，。 （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）若等比数列满足，，求的前n项和公式 解：（Ⅰ）设等差数列的公差。 因为 所以 解得 所以 （Ⅱ）设等比数列的公比为。 因为 所以即=3。 所以的前项和公式为 小结与拓展：数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的公差。（a0且a≠1）. 例．已知数列中，，求通项公式 解：由已知得：，∴ ∴数列是首项为，公比为2的等比数列 ∴.即. 例 数列{an}是公差大于零的等差数列，,是方程的两根。数列的前项和为,且，求数列,的通项公式。 解：由.且得 , 在中,令得当时,T=, 两式相减得, 例．已知是等比数列，，；是等差数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和的公式； 解：（Ⅰ）设{an}的公比为q，由a3=a1q2得 （Ⅱ） 例．已知数列中，，求通项公式. 解：易知，由，两边取倒数得，即.∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴ 故. 例 数列是递增的等比数列，且. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)若,求证数列是等差数列; 解:(Ⅰ)由 知是方程的两根,注意到得 .……2分 得. 等比数列.的公比为,……4分 (Ⅱ)……5分 ……7分 数列是首项为3,公差为1的等差数列. ……8分 等比数列的判定 例．已知数列的前项和为，. （1）求 （2）求证：数列是等比数列 变式训练⑴：已知数列满足． ⑴求证：数列是等比数列；⑵求的表达式． 例 在等比数列中，公比，设，且 （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和及数列的通项公式； （3）试比较与的大小. 解析：（1）由已知为常数.故数列为等差数列， 且公差为 （先求也可） （2）因，又，所以 由 由. （3）因当时，，所以时，； 又可验证是时，；时，. 例 数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，…，求 （I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式； （II）a2+a4+a6+…+a2n的值. 1 在等差数列中，则的值为（ ） A.84 B.72 C.60 . D.48 2. 等差数列中, ,则此数列前20项的和等于 A.160 B.180 C.200 D.220 3．在等差数列中，若，则的值为 A.14 B. 15 C. 16 D.17 4．的前项和为，若，，则 A．63 B．45 C．36 D．27 5等差数列的前项和为，若（ ） （A）12 （B）10 （C）8 （D）6 6设是等差数列的前项和，若，则（ ） A． B． C． D． 7记等差数列的前n项和为，若，，则该数列的公差d=（ ） A．7 B. 6 C. 3 D. 2 8 等差数列中，已知，，， 则n为（ ） （A）48 （B）49 （C）50 （D）51 9等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（ ） (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 10设Sn是等差数列的前n项和，若（ ） A．1 B．－1 C．2 D． 11已知等差数列{an}满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有A．α1＋α101＞0　 B．α2＋α100＜0　 C．α3＋α9＝0　 D．α51＝51 ，，…，为各项都大于零的等差数列，公差，则( ) （A） （B） （C）++ （D）= 13若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和 为390，则这个数列有（ ） （A）13项 （B）12项 （C）11项 （D）10项 14.在等比数列中，，，则的前4项和为 A．8