401-一道全国联赛试题的探究式教学.doc

一道全国联赛试题的探究式教学 武汉市长虹中学 朱孝玲 一、提出问题： （2003年全国高中联赛）一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A’ 刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条折痕，当A’ 取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。 二、试验探究： 准备一张圆纸片（圆心为O），在圆纸片内画一点A（不同于O点），翻折纸片，使圆弧边沿紧靠点A，展开后得一折痕，这样一直折下去，所得折痕围成一个图形（如图1） 猜想；该图形是椭圆，且长轴长等于圆的半径R．取不同的点A折叠，可观察椭圆的扁平程度与A点的位置有关，点A离O越远，形状越扁，反之，越圆．这说明A，O两点与椭圆焦点具有相同的性质，因此，O，A可能是椭圆的焦点。 三、讨论交流： 思路一：如图2，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则有A（a,0），设折叠时，圆O上点，而折痕为直线MN，则MN为线段的中垂线。 设P（x,y）为线段MN上任一点，则， , 即 ，平方后可化为： 故所求点的集合为椭圆外（含边界）的部分。 思路二：条件中的折痕即为线段的中垂线，明显有，动点P具备圆的性质，可考虑圆与圆的关系来解决。如图2，对纸上任一点P，以P为圆心，PA为半径作圆，因为在圆O上，所以当圆P与圆O有公共点时，P点在某条折痕上，可把折痕的集合转化为P点的集合。 若P在圆外时，则圆P与圆O必相交；若圆P在圆内，要使圆P与圆O相交，只需圆P与圆O不内含，由圆P与圆O内含可得：， 综合知，若要满足问题条件，必有，易证当点P满足时，P点一定在某条折痕上，故由椭圆的定义，P点的集合是以O，P为焦点，R为长轴长的椭圆外的部分（含边界） 思路三：如图3，设折痕为，连，设交于M，连AM，垂直平分线段，则有，即 任取M’ 为上一异于M的一点，由三角形两边之和大于第三边可知：，故折痕上任一点P都满足如下条件 思路四：受上面解法的启示，由于∠AMD=∠A’MD,∠A’MD=∠M’MO,所以∠AMD=∠M’MO，联想到光学上的一条性质：如图4，F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上任一点，当光线由F1出发经上P点反射到F2时，必为过P点的切线，故可形象地认为这是一条光线由O点出发，经上的点M反射到A点而得到的图形，由上面的性质知，为椭圆的切线，故折痕的全体形成椭圆的包络，就表明折痕围成的图形是椭圆。 四、反思建构： （1）比较与鉴别：思路一要求学生有较为完善的知识结构，较强的综合能力，对代数式的恒等变形能力要求较强；思路二要求学生有化归思想及反证法的思想，有较灵活的思维能力及丰富的想象能力；思路三要求学生有从复杂图形分离出简单图形的能力，对轴对称的知识要有一定的了解并能融会贯通；思路四要求学生对物理学科比较精通，并具有将这一优势迁移到数学领域的能力。 （2）问题引伸：改变定点P的位置，其它条件不变时，可产生下面的问题： 问题一：定点A与圆心O重合时，求折痕所在直线上点的轨迹； 问题二：定点A在圆周外时，求折痕所在直线上点的轨迹； 问题三：定点A在圆周上时，求折痕所在直线上点的轨迹。 学生仍然用折纸法不难得到： 问题一所得的轨迹是以O为圆心，为半径的圆； 问题二所得的轨迹是双曲线。在一张纸上画一个圆，在圆的外部取一点A，折叠纸片使圆的边界上有一点与A点重合，继续上述过程，绕圆的全部边界折下去，得到折痕形成的图形（如图5）。类比椭圆，可以猜想：所围成的图形是双曲线，且双曲线的实轴长为定值，等于圆的半径R，O，A两点是双曲线的焦点。 我们可以运用所学知识证明上述结论。 可以类比上面的方法判断： 问题三的轨迹是整个坐标平面。 用折纸法得到了圆，椭圆，双曲线，学生自然会联想下面的问题： 问题四：如何通过折纸法得到抛物线？ 仅仅靠改变定点的位置是难以得到抛物线的，能不能试着改变纸片上画的图形形状呢？如：在纸片上画一条直线，情况如何？ 取一张矩形纸片，在纸片的下方画一条直线，在纸片内部居中的地方取一点F，折叠纸片，使直线上的某点P与F点重合，由此得到一条折痕，继续上述过程，当点P取遍直线上的所有点时，折痕围成一个图形（如图6） 猜想：折痕围成一条抛物线，且底边为抛物线的准线，F为抛物线的焦点为。 既然可以将纸片上画的图形改变成直线，那么，我们的思路就开阔了。 问题五：在纸片上画一个上定点F及一个椭圆，（或一条双曲线，或一条抛物线等），折叠纸片，使得椭圆（或双曲线或抛物线）上某点P与定点F重合，由此得到一条折痕，继续上述过程，当点P取遍这些椭圆（或双曲线或抛物线）上的所有点时，折痕又是什么图形呢？ 这时的曲线不是中学生所熟悉的，用折纸的方法看不出来，可以借助于计算机来解决。虽然目前中学生还不能解决这些问题，但可以激发他们探索问题的兴趣和热情。