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第3章 光学谐振腔理论 光学谐振腔（经常简称为“谐振腔”）是激光器的重要组成部分，它的主要作用有两个方面：①提供轴向光波的光学正反馈；②控制振荡模式的特性。激光器所采用的谐振腔，都属于“开放式谐振腔”。 电磁波在厘米波段中，广泛地采用“体谐振腔”（也称为封闭式振腔）。体谐振腔是一个密闭的金属空腔，一般做成规则形状。体谐振腔通常工作在最低次模，工作波长和谐振腔尺寸在同一个数量级；工作波长变短时，谐振腔的全部尺寸都要相应减小；但波长相当短时，体积将小到无法实现的程度；因此体谐振腔只在亚毫米波段以上才适用。 理论上讲，比较短的波长也可以采用较大尺寸的谐振腔，在高次模上工作；但是这种方法所能工作的波长也是有限的。对于“体谐振腔”而言，一个确定谐振体积内的模数量与频率的平方成正比；当波长很小时，模数量太多，每两个相邻模的间隔小于模的宽度而失去共振性质无法工作。柯朗定理表明，二维的谐振腔的模式数量与频率成线性关系；而一维谐振腔的模式数量和频率无关。这样，可以利用工作在高次模上的一维谐振腔，实现光波段的谐振；这种谐振腔与微波波段的“体谐振腔”具有完全不同的性质，称为“开放式谐振腔”；这是本章主要讨论的对象。 3.1光学谐振腔的研究方法 光学谐振腔理论研究的基本问题是光波（电磁场）在腔内的传输规律；从数学上讲是求解电磁场方程的本征函数和本征值；目的是获得谐振腔稳定性、腔内光波模式等有关信息。由于开放式光腔侧面不具有确定的边界，几乎不能在给定边界条件下对经典电磁场理论中的波动方程严格求解。因此，常采用一些近似方法来处理光学谐振腔问题。常用的研究方法包括： 1.几何光学分析方法 激光器采用的开放式谐振腔，其几何尺寸远远大于光波波长；这种情况下，光的波动性不起主要作用，可将光看成光线用几何光学方法来处理。这种方法的优点是简便、直观，主要缺点在于不能深入分析腔的衍射损耗和腔模特性。 2.矩阵光学分析方法 “矩阵光学”方法本质上也是一种几何光学的研究方法，它使用矩阵代数的方法研究光学问题；将激光束在光腔内的往返传播行为用一个变换矩阵来描写，从而推导出谐振腔的稳定性条件。此外，还可以利用高斯光束的ABCD定律和模的自再现条件推导出用矩阵元形式表示的谐振腔本征方程的模参数公式。这种方法的优点在于处理问题简明、规范，易于用计算机求解。 3.波动光学分析方法 从波动光学的菲涅耳—基尔霍夫衍射积分理论出发，可以建立一个描述光学谐振腔模式特性的本征积分方程。利用该方程和自在现模的条件，原则上可以求得任意光腔的模式，从而得到腔内模式的特性。本征积分方程解在数学是成立的；但实际上只有在腔镜几何尺寸趋于无穷大的情况下，该积分方程才可能有解析解。对于腔镜几何尺寸有限的情况，迄今只给出了对称共焦腔求的解析解。多数情况下，需要使用近似方法求数值解。相比其他分析方法，衍射积分方程理论是一种比较普遍和严格的理论。 本章中采用矩阵光学方法来讨论谐振腔的稳定性，用衍射积分方程理论处理谐振腔的模式问题。本章研究对象是无源谐振腔，即不考虑激活介质的影响；对中、低增益的激光器而言无源腔的模式理论可以作为有源腔模式的良好近似；对于高增益激光器，应加以修正方能运用。 3.2 光学谐振腔的基本知识 3.2.1 光学谐振腔的构成和分类 如图3.1所示，在激活介质（工作物质）两端适当地放置两个反射镜，即可构成最简单的光学谐振腔。 光学谐振腔的结构和分类方式很多（表3.1）。其中最简单、最常见的是由两个球面镜构成的开放式光学谐振腔，本章的讨论仅限于这种腔。平行平面腔可以当作球面腔的一个特例来处理，而其他比较复杂的谐振腔可以等效为两镜腔来处理。 表3.1谐振腔的分类 分类标准 分类 是否有边界 开腔、闭腔、气体波导腔 反射镜形状 球面腔、非球面腔 反射镜个数 两镜腔、多镜腔 是否有反射镜以外的反射面 简单腔、复合腔 稳定性 稳定腔、临界腔、非稳腔 3.2.2 光学谐振腔的模式 在谐振腔中，反射镜将光束限制在有限空间里，腔内光（电磁场）场分布为一系列本征态；即只有满足特定条件的光场都可以在腔内稳定存在。这些分布称为光学谐振腔的模式，这是本章一个重要概念。不同的模式对应于不同的场分布和共振频率，谐振腔内光场的分布可以由纵模和横模来描述。 一、纵模 1.驻波条件 要形成稳定的激光振荡，腔内的场分布必须是一个相对稳定的值。以平行平面腔为例，当时，可以近似认为均匀平面波是一种本征模式；平面波在腔内沿轴线方向的往返传播，光波在腔镜上反射时，入射波和反射波会发生干涉。为了能在腔内形成稳定的振荡，要求光波因干涉得到加强；由多光束干涉理论知道，相长干涉的条件是光波在腔内沿轴线方向传播一周 (如图3.2)，产生的相位差为2的整数倍：