19讲 空间应力状态简介与应变比能.ppt

* * 第十九讲 空间应力状态简介与应变比能 湖南理工学院——曾纪杰 一 空间应力状态简介 仅介绍三个主应力均已知且不为零的应力状态 s1 s2 s3 t s s3 s2 I I s1 s2 s3 (1)求平行于σ1的方向面的应力σα 、τα ,其上之应力与σ1 无关.于是由σ2 、σ3作出应力圆I 三向主应力状态的应力圆 II s1 s3 II I s2 t s O s2 s3 s1 (2)求平行于σ2的方向面的应力σα、τα ,其上之应力与σ2 无关.于是由σ1 、σ3作出应力圆Ⅱ II I t s O s3 III s2 s1 III s2 s1 s3 (3)求平行于σ3的方向面的应力σα 、τα ,其上之应力与σ3 无关.于是由σ1 、σ2作出应力圆Ⅲ s1 s2 s3 (4)一点处任意斜截面上的应力σn 、τn ,其上之应力与σ1 、σ2 、σ3都有关. 在σ-τ 平面内,代表任意斜截面的应力的点或位于应力圆上,或位于三个应力圆所构成的区域内. II I s3 III s2 s1 O t s 一点处最大正应力与最小正应力 由σ1和σ3 所作成的最大应力圆可见: II III I s1 s2 s3 t s O txy sx ?? ??? ?? 在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即： 二 各向同性材料的广义胡克定律 1、横向变形与泊松比（各向同性材料） --泊松比 y x 2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法 + + 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 分析： (1) 即 (2)当 时，即为二向应力状态； 讨论平面应力与平面应变 (3)当 时，即为单向应力状态； 即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。 边长为20mm的钢立方体置于钢模中，在顶面上受力F=14kN作用。已知，μ=0.3，假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦可以忽略不计。试求立方体各个面上的正应力。 例题1 一受扭圆轴,直径d=20mm,圆轴的材料为,E=200GPa,ν=0.3.现测得圆轴表面上与轴线成450方向的应变为ε=5.2×10-4,试求圆轴所承受的扭矩. 例题2 已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了 测定拉力F和力矩m，可沿轴向及与轴向成45°方向测出 线应变。现测得轴向应变 ，45°方向的应变 为 。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200 Gpa,泊松比?=0.3。试求F和m的值。 F m m F k u u 45° 例题3 解： （1）K点处的应力状态分析 在K点取出单元体： K 其横截面上的应力分量为： （2）计算外力F. 由广义胡克定律： 解得： （3）计算外力偶m. 已知 式中 K u 由 解得： 因此 变形前单元体体积 三.体积应变 变形后单元体的各棱边长度 将分别变为 变形后单元体体积为 略去二阶以上微量,则 单位体积改变 利用广义虎克定律中三个主应变代入上式子;得 即体积应变与三个主应力之和有关,与主应力的大小比例 无关. 讨论:纯剪切平面应力状态的体积应变 t t t t 45ｏ 剪应力的存在不影响体积应变. 因此对于一般空间的应力状态单元体 y x z