2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件：第5篇 不等式—基本不等式.ppt

* 学案4 基本不等式 及应用 返回目录 1.如果a，b∈R,那么 （当且仅当 时取“=”）. 2.如果a，b是正数，那么 （当且仅当 时取“=”）. 3.通常把 叫做基本不等式. (a＞0,b＞0) a2+b2≥2ab a=b a=b 返回目录 设a，b是正实数，以下不等式：① ;② a＞|a-b|-b;③a2+b2＞4ab-3b2;④ab+ ＞2恒成立的序号为（ ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【分析】判断命题是否成立，即判断命题的条件是否成立，所给命题是否与基本不等式不矛盾. 考点一 基本不等式 返回目录 【解析】∵ ,∴ ,∴①不恒成立;∵a，b是正实数，∴a+b＞|a-b|,即a＞|a-b|-b,∴②恒成立;∵a2+4b2≥4ab,∴a2+b2≥4ab-3b2,∴③不恒成立;∵ab+ ≥2 =2 ＞2,∴④恒成立. 故应选D. 【评析】应用均值不等式判断命题的真假的关键是看是否符合均值不等式的条件，即a2+b2≥2ab成立的条件是a，b∈R,而 成立的条件是a＞0且b＞0. ＊对应演练＊ 若a，b是正数，则 这四个数的大小顺序是 . (∵a，b是正数，∴ 而 ,又a2+b2≥2ab 2(a2+b2)≥(a+b)2 ≥ , ∴ ≤ ， 因此 .) 返回目录 （1）设0＜x＜2,求函数 的最大值； （2）求 +a的取值范围； （3）已知x＞0,y＞0,且x+y=1，求 的最小值. 【分析】（1）中3x与8-3x的和为定值8，故可利用均值不等式求解.（2）中和与积都不是定值，但将 变形为 +（a-4）+4，即可发现 ×(a-4)=3为定值，但要注意a-4的取值范围. 考点二 利用基本不等式求最值 返回目录 返回目录 【解析】（1）∵0＜x＜2, ∴0＜3x＜6,8-3x＞2＞0, ∴ ≤ , 当且仅当3x=8-3x，即x= 时,取等号. ∴当x= , 的最大值是4. (2)显然a≠4,当a＞4时，a-4＞0， ∴ +a= +（a-4）+4≥2 +4=2 +4, 当且仅当 =a-4，即a=4+ 时，取等号； 当a＜4时，a-4＜0, ∴ +a= +(a-4)+4 =-〔 +(4-a) 〕+4≤-2 +4 =-2 +4, 当且仅当 =4-a，即a=4-3时，取等号. ∴ +a的取值范围是（-∞,-2 +4］∪［2 +4,+∞). 返回目录 返回目录 (3)∵x＞0,y＞0,且x+y=1， ∴ = （x+y） =10+ ≥10+2 =18. 当且仅当 ，即x=2y时等号