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利 息 理 论 开课系：理学院 统计与金融数学系 教师: 陈萍 e-mail: Probstat @ 第二章 常见利息问题 常见利息问题 收益率 基金收益的计算 资金预算 一般借贷模型 补充:收益率问题的随机化处理 §2.4 一般借贷模型 在收益率问题中,常会遇到多重收益率问题.现在具体分析多重收益率产生的原因. 最终投资余额为（n时刻的积累值） 其中mj为整数，且 mj是从时刻j到时刻n中使用利率r的时期总数。当r=f时情形与定理2.3.1相同。 回忆收益率的定义，在收益率点，应有Bn=0,此时收益率不是单个的数，而是r和f之间的一个函数关系。换言之，如果对于一个给定的f，可以找到一个r的值使Bn=0,则称r和f为此项业务的一对收益率。 例2.4.1 一位投资者要对某项投资作资金预算。该项目的资金流如下表， 如果r=f,求收益率； 如果r,f是收益率时，将r表示成f的函数 如果可接受利率r=70%, f=30%,投资者会接受还是拒绝这笔业务？ 5000 12000 0 返回 15000 2000 1600 投入 2 1 0 年 解:(1)由题意,C0=1600, C1=-10000, C2=10000. 设i=r=f, (3)将r=70%,f=30%带入 故投资者拒绝这笔业务. (注意B2是投资余额而不是返还!) EX 一个5年期投资项目的资金流如下： 1000 -4000 3000 -4000 2000 1000 Ct 5 4 3 2 1 0 t 若投资者可接受利率为r=15%,f=10%,问此项目可否采纳？ (答: §2.5基金收益的计算 2.5.1.基金概述 所谓基金是指一种利益共享、风险共担的集合证卷投资方式，即通过发行基金单位，集中投资人的资金，由基金托管人委托基金管理人管理和运用资金，从事股票、债卷等金融工具投资。 一般地，基金按其份额是否可赎回可划分为开放式与封闭式基金。 封闭式基金在发行期满后就封闭起来，投资者须通过二级市场买入或卖出，其价格在很大程度上由市场供求决定，波动类似于股票。但这种基金常有设定的存续期限，一旦期满就进行清盘，将剩余资产按持有份额分配给持有人或转成开放式基金继续存在下去。且基金收益分配必须采用现金形式，不能配股。 开放式基金有两个特点：一方面基金的发行份额是不固定的，投资者随时可按该基金的价格购买新的份额，也可以随时要求基金公司赎回所购买的基金份额，收回投资，退出基金，购买或赎回的价格以当时基金单位资产净值为基础。另一方面是不设定存续期限。 开放式基金的价格主要由资产价值而非市场供求关系决定。投资者的收益主要来自基金的分红及基金净资产价值的增值。故可用利息理论来研究。 考虑下列问题，某项投资A历经3年，这三年中第一年利率为i1,第二年利率为i2,第三年利率为i3 ，则到第三年末的积累值为多少？ 显然应为 a(1+i1)(1+i2)(1+i3), 这种情形常见于基金的分红，因为它是每年按当年业绩决定利率水平的。 2.5.2. 变利息 一般地，记in为从投资之日起第n个时期的实质利率，则对于整数t≧1有a(t)=(1+i1)(1+i2)…(1+in) ,同理 a-1(t)=v1v2…vn，其中vk=1/(1+ik)。 有时利率不是按年变化而是在一时期内的任何时刻都可以出现变化，则我们可以利用下式进行计算。 变利息还常出现在一个时期内本金有所改变时一时期利率计算的情形，如一项基金常可因新的本金加入而增加，或因本金抽回而减少，还可因一时期内多次（常在非正规的时间区段）赚得的利息而增加，以及因基金操作如对股票的买卖而变化，对这些情形必须给出确定合理的实质利率的方法。 下面考虑变利息情形在基金中的应用。 EX. 一笔基金的利率在前3年为季度转换8%,后2年为季度转换9.6%, 某人在第一年初向该基金投资2000元，第4年初向该基金投资1000元，求5年后基金的积累值。 (答:约4275.02元) 2.5.3.基金的利息度量 记号 设A=基金在期初的金额，B=基金在期末的金额，I=在此时期内赚得的利息金额， Ct=在时刻t投入的本金净金额（可正可负）其中0t1, C=在此时期投入的本金总金额（可正可负） 在时刻t投资1在随后的长度为1-t的时期内所赚得的利息金额。 一．币值加权利率 假定基金在一个时期内以同样的利息强度运行，且假设所有赚得的利息I是在期末接受的，则B=A+C+I 。 这样对于时期0?t?1赚得的利息的精确的求值方程应为 不幸，上式的形式不能直接用来求i，必须找到 的值。假设整个时期都是用复利，则有 带入上式则得到关于i的精确方程。此方程可用迭代法求解，但计算繁杂。 (2.5.1) 在实际中往往用单