第十一节 能量法.ppt

* 第十一章 能量法 §11–1 杆件应变能的计算 §11–2 单位载荷法 莫尔积分 §11–4 卡氏定理 §11–5 互等定理 §11–1 杆件应变能的计算 一、能量原理： 二、杆件应变能的计算： 弹性体内部所贮存的应变能，在数值上等于外力所作的功，即 利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。 不计能量损耗时，外力功等于应变能。 内力为分段常量时　 dx N(x) N(x) 拉压杆的比能 u：单位体积内的应变能。 1.轴向拉压杆的应变能计算： 2.扭转杆的应变能计算： 3.弯曲杆的应变能计算： 三、应变能的普遍表达式： 应变能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的应变能可以相互叠加。 细长杆，剪力引起的应变能可忽略不计。 Q MN MT A A P N B j T 例1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作 用，求A点的垂直位移。 解：用能量法（外力功等于应变能） ①求内力 A P R ③外力功等于应变能 ②应变能： 例2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。 解：外力功等于应变能 在应用对称性，得： 思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？ q C a a A P B f §11–2 单位载荷法 莫尔积分 求任意点A的位移f A 。 一、定理的证明： a A 图 fA q(x) 图c A 0 P =1 q(x) f A 图b A =1 P0 莫尔定理(单位力法) 二、普遍形式的莫尔定理 fA -- 梁上任一点A在外力作用下的挠度. M(x) -- 外载下的弯矩方程. M0(x) -- 单位力作用于A点时的弯矩方程. 三、使用莫尔定理的注意事项： ④ M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。 ⑤莫尔积分必须遍及整个结构。 ② M0——去掉主动力，在所求 广义位移 点，沿所求 广义位移 的方向加广义单位力 时，结构产生的内力。 ① M(x)：结构在原载荷下的内力。 ③ 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。 例3 用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。 解：①画单位载荷图 ②求内力 B A a a C q B A a a C 0 P =1 x ③变形 B A a a C 0 P =1 B A a a C q x ④求转角，重建坐标系（如图） q B A a a C x2 x1 B A a a C MC0=1 d ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 ) ( 0 0 ò ò + = a BC a AB x EI x M x M dx EI x M x M 例4 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移。 解：①画单位载荷图 ②求内力 5 10 20 A 300 P=60N B x 500 C x1 5 10 20 A 300 B x 500 C =1 P0 ③变形 §11–4 卡氏定理 给Pn 以增量 dPn ，则： 1. 先给物体加P1、 P2、???、 Pn 个力，则： 2.先给物体加力 dPn ，则： 一、定理证明 dn 再给物体加P1、 P2、???、Pn 个力，则： dn n = n P U ? ? d 卡氏定理 应变能对任一外力的偏导数, 等于该力作用点沿该力方向的位移. 二、使用卡氏定理的注意事项： ①U——整体结构在外载作用下的线 弹性应变能 ② Pn 视为变量，结构反力和应变能 等都必须表示为 Pn的函数 ③ ?n为 Pn 作用点的沿 Pn 方向的变形。 ④ 当没有与 ?n对应的 Pn 时，先加一沿 ?n 方向的 Pn ，求偏导后， 再令其为零。 dn 三、特殊结构（杆）的卡氏定理： 例5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 ③变形 ①求内力 解：求挠度，建坐标系 ②将内力对PA求偏导 A L P EI x O 求转角 ?A ①求内力 没有与?A向相对应的力（广义力），加之。 “负号”说明 ?A与所加广义力MA反向。 ②将内力对MA求偏导后，令M A=0 ③求变形（ 注意：M A=0） L x O A P M A 例6 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。 解：求挠曲线——任意点的挠度 f（x） ①求内力 ②将内力对Px 求偏导后，令Px=0 没有与f（x）相对应的力，加之。 P A L x B Px C f x O x1 ③变形（ 注意：Px=0） 例7 等截面梁如图，用卡氏定理求