2013年度高中数学教学论文 在解析几何中求参数范围的9种方法.doc

从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景 解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。 背景之一：题目所给的条件 利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。 例1：椭圆的焦点为F1、F2，点P(x, y)为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是___。 解：设P(x1, y)，∠F1PF2是钝角cos∠F1PF2 = 。 说明：利用∠F1PF2为钝角，得到一个不等式是解题的关键。把本题特殊化就可以得到2000年全国高考题理科第14题： 椭圆的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是__________。 （答案为 x，） 例2：（2000年全国高考题理科第22题）如图，已知梯形ABCD中，=2，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过点C、D、E三点，且以A、B为焦点。当时，求双曲线离心率e的取值范围。 解：如图，以线段AB的垂直平分线为 y 轴。因为双曲线经过点C、D，且与A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关y轴对称，依题意，记A，C(，h)，E(x0，y0), 其中c =为双曲线的半焦距，h是梯形的高。 由定比分点坐标公式得：x0==，y0=。 设双曲线方程为－=1，则离心率e =。 由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e =代入双曲线方程得 ① ② 由①式得 ③ 将③式代入②式，整理得： ∴ 说明：建立与e的函数关系式，再利用已知的范围，即可求得e的范围。 背景之二：曲线自身的范围 圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆b0) 中，x，利用这些范围是确定参数范围的途径之一。 例3：（2002年全国高考题）设点P到点M(－1，0)、N(1，0)距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围。 解：设点P的坐标为(x，y)，由题设得，即y = ① 由于x，所以点P(x，y)、M(－1，0)、N(1，0)三点不共线，得 因此，点P在以M、N 为焦点，实轴长为2的双曲线上，故 =1 ② 将①式代入②，解得 由且，得，又m ∴(0, 说明：P到x轴、y轴距离之比为2，所以P不能在x轴上，由此得到m，这一隐含条件容易忽视。 例4：（2004年全国卷Ⅲ理科21题 文科22题）设椭圆的 两个焦点是F1(－c, 0)与F2(c, 0) (c 0)，且椭圆上存在一点P，使得直线PF1与PF2垂直。 (1)求实数m的取值范围； (2)设l相应于焦点F2的准线，直线PF2与l相交于Q，若，求直线PF2的方程。 解：(1)依题设有m＋11,即m 0，c =,设点P的坐标为(x0, y0)，由PF⊥PF2 ，得 ① 将①与联立，解得x 由此得 故m, +) (2)答案为y =() (x-) ( 解答略) 背景之三：二次方程有解的条件 直线和圆锥曲线的关系，是解析几何中最常见的关系，它们联立消元后所得的判别式非负是直线和圆锥曲线有公共点的充要条件；若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等，这是确定参数取值范围的一个常见背景。 例5：（全国高考题）给定双曲线x２－= 1，过点B(1，1)能否作直线 l，使l与所给双曲线交于P1及P2，且点B是线段P1P2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。 解：画出图像知，当直线斜率不存在时，满足题设条件的l不存在。 当直线l斜率存在时，设为k，则l方程为y = k(x－1)＋1，联立，得。 设 。 故满足已知条件的直线l不存在。 例6：（2004年湖北省高考题理科20题 文科20题）直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B。 (1)求实数k的取值范围； (2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。 解：(1)将直线代入双曲线方程，并整理得 依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故 (2)答案是存在满足题设。 说明：问题(1)涉及到直线与双曲线右支相交的问题，转化为方程有不等 的两正根，由方程根的分布的充要条件建立不等式组即可。 背景之四：已知变量的范围 利用题中给出的某个已知变量的范围，或由已知条件求出某个变量的范围，然后找出这个变量与欲求的参变量之间的关系，进而求解。 1、双参数中知道其中一个参数的范围； 例7：（2004年浙江省高考题理科21题 文科22题）已知双曲线的中心在原点，右顶点