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六、自测练习题提示与解答
应填z ．
所给方程两边对x求导数得：
即有所以应填 1 ．
3. 应填：
4. 所给函数取对数得：两边微分
应填：
5. 方程两边对x求导数得：
方程两边对y求导数得：
则 应填 1 ．
6.
点P 向径的方向余弦为
所求方向导数为 应填
7. 应填
8. 切平面的法向量为 在点(3,1,1)处的切平面方程为
即为应填
9. 曲线的切线的方向向量为平面的法向量为
依题意则有解得（舍去）曲线的切线方程为
或（答案有误）
10. 应选（C）．同理
由于
所以在点处偏导数存在但不可微，
故选项（C）正确．
11. 应选（C）．在点处可微的充分条件而不是必要条件，在点处的偏导数不连续在该点处也可能可微，故选项（C）正确．
12. 应选（C）．显然在 (0,0) 点处偏导数不存在．
因而在点处不可微．故选项（B）（D）在的连续性，作极坐标变换，令则有
故在处连续，选项（A）不正确，由排除法应选（C）．
13. 应选（D）．
14. 应选（B）．的方向余弦为
又
所以 故选项(B)正确.
15. 由于 所以
又由于
所以则有
16．即有所以曲线在点处的切线与轴的夹角为
17. 证：
同理
则有
同理
由于其中第二项分子极限不存在，故所求极限不存在，即在原点不连续．同理在原点也不连续．
又由于
所以在处可微． 证毕
(注意：本题是函数在一点处偏导数不连续但在该点处函数可微的例子)
18. （1）
要使存在，
则有
同理，
要使存在，
则有
总之，要使都存在，则有
(2)由于
则当时，f (x, y)在点(0,0)的全微分存在.
19.
20.
21. （注意：本题先对y求导数,计算简单!）
22.
23. 方程两边对x求导数得：
即有
方程两边对y求导数得：
即有
24. 方程两边对x求导数得：
25.方程两边微分得：
则有：
即有：
26．方程组的两个方程两边分别微分得：
即有利用行列式法解得：
则有：
则有：
27.证:方程两边对x求导数得：
方程两边对y求导数得：
证毕．
28.
梯度为:
切线的方向向量为
方向余弦为
29.曲面的切平面的法向量为：,
平面和的法向量分别为
依题意有
则有由可得将代入曲面方程得：解得切点坐标为
法向量为曲面的切平面方程为：
30．用公式法解此题.令则在点处曲线的切线方程为：
即为：，法平面方程为：
31. 证:方程可决定曲面F的法向量为
方程两边对x求导数
则有
方程两边对y求导数
则有若（X(Y,Z）是切平面上的任意一点，则有：
显然切平面方程满足即切平面过定点 证毕．
32. 令解得
由于所以不是极值点．
由于所以为极大值．
33. 令解得
则有 在边界上，
令解得（舍去） 则有
此外有 在边界上，令解得 则有 此外有 在边界上，
令解得（舍去）．则有
此外有 在边界上，令
解得（舍去）．则有
此外有
比较上述函数值可知
34．设内接长方体在第一卦限的坐标点为
由于对称性有 （目标函数），且有 （条件方程）．
设
解方程组得则有
即有 所以
35. 设解方程组
得故函数在球面上的最大值为即在的条件下，有
也即有 令
带入上式并整理得 证毕．
36.证:由极限的保号性知， 当时，
即有从而可知在处沿极径方向的方向导数大于零．从而沿极径方向为增函数，而为有界闭区域，
则在上有最小值．由上沿任一极径方向为增函数知，在上的最小值也就是其在全平面上的最小值． 证毕.
37. 先证必要性：等式两边对t求导数得
令得
再证必要性： 则有
即有
从而 证毕．
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