线性代数第三节-练习题.ppt

1　矩阵的秩 2　初等变换的定义 3　矩阵的等价 ４　行阶梯形矩阵 ５　行最简形矩阵 ６　矩阵的等价标准形 7　矩阵秩的性质及定理 8　线性方程组有解的判别定理 9　线性方程组的解法 10　初等矩阵 11　初等矩阵与初等变换的关系 典　型　例　题 * * 定义 定义 习 题 课 对调 数乘 倍加 逆变换 初等变换 　　三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换． 反身性 传递性 对称性 　　经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 一个非零元． 例如 　　经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都 为0． 例如 　　对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0． 例如 定理 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数． 定理3.5 对齐次线性方程组 定理 3.4 (未知数个数) (未知数个数) 　　齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形 矩阵，写出通解． 　　非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯 形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有 解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出 通解． 三种初等变换对应着三种初等矩阵． 　　由单位矩阵　经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵． 　　（１）对调：对调两行（列），得初等矩阵　　　． 　　（２）数乘：以数　非零）乘某行（列），得初等矩阵　　　． 　　（３）倍加：以数　乘某行（列）加到另 一行（列）上去，得初等矩阵　　　　． 定理 定理 推论 一、求矩阵的秩 二、求解线性方程组 三、含参数线性方程组求解 求矩阵的秩有下列基本方法 ⑴ (定义法) 计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的 子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一 个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩． 一、求矩阵的秩 ⑵ 用初等变换．即用矩阵的初等行（或列）变换， 把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的 秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不 改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行 （或列）的个数就是原矩阵的秩． 　　第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计 算量很大，第二种方法则较为简单实用． 解　对　 施行初等行变换化为阶梯形矩阵 例1 求下列矩阵的秩 　　注意　在求矩阵的秩时，初等行、列变换可 以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成 阶梯形． 　　当方程的个数与未知数的个数不相同时，一 般用初等行变换求方程的解． 　　当方程的个数与未知数的个数相同时，求线 性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换 法和克莱姆法则． 二、求解线性方程组 对Ax=b,要研究其增广矩阵 ； 对Ax=0,只研究其系数矩阵就可以了. 例2 1997.6 一(6) 4分 设m个方程n个未知数的非齐次线性方程组为 Ax＝b，且rankA＝r，则下列结论中正确的是 r=n时，Ax＝b有唯一解； m=n时， Ax＝b有唯一解； rn时，Ax＝b有无穷多解； r=m时，Ax＝b有解. (d) 三、含参数线性方程组求解 系数矩阵或右端项含有一个(或多个)参数的线 性方程组称为含参数线性方程组.求解含参数线性 方程组时常采用一下办法： ⑴ 对方程组的增广矩阵 通过初等行变换化为阶梯 型矩阵，然后根据 是否成立，讨论参数 在什么情况下有解？无解？有解时再求出一般解. ⑵ 当方程个数与未知数个数相同的时候，可利用克 莱姆法则，即计算系数行列式 对使得 的 参数值，方程组有唯一解；而对于使得 的参数 值，分别列出增广矩阵求解. 注：最好采用方法2求解.