2008年高考数学试题（江苏理）.doc

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数 学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．若函数最小正周期为，则　　　　. 2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是　　　　． 3．若将复数表示为是虚数单位）的形式，则　　　　． 4．若集合，则中有　　　　个元素． 5．已知向量和的夹角为，，则　　　　． 6． 在平面直角坐标系中，设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则所投点在中的概率是　　　． 7．某地区为了解岁的老人的日平均睡眠时间（单位：），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表： 序号 分组（睡眠时间） 组中值（） 频数（人数） 频率（） 1 6 2 10 3 20 4 10 5 4 在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为 ． 8．设直线是曲线的一条切线，则实数的值是 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点在线段AO上的一点（异于端点），这里均为非零实数，设直线分别与边交于点，某同学已正确求得直线的方程为，请你完成直线的方程： ( ) ． 10．将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为 ． 11．设为正实数，满足，则的最小值是 ． 12．在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，为半径作圆，若过作圆的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 ． 13．满足条件的三角形的面积的最大值 ． 14．设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别交单位圆于两点．已知两点的横坐标分别是，． （1）求的值； （2）求的值． 16． 如图，在四面体中，，点分别是的中点．求证： （1）直线面； （2）平面面． 17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为y km． （1）按下列要求建立函数关系式： （i）设（rad），将表示成的函数； （ii）设（km），将表示成的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。 18．在平面直角坐标系中，记二次函数（）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为． （1）求实数b的取值范围； （2）求圆的方程； （3）问圆是否经过定点（其坐标与的无关）？请证明你的结论． 19．（1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列． （i）当时，求的数值； （ii）求的所有可能值． （2）求证：对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列 ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列． 20．已知函数，（为常数）．函数定义为：对每个给定的实数， （1）求对所有实数成立的充分必要条件（用表示）； （2）设是两个实数，满足，且．若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为） 2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学附加题 21：从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分 A．选修4—1　几何证明选讲 如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：． B．选修4—2　矩阵与变换 在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程． C．选修4—4　参数方程与极坐标 在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值． D．选修4—5　不等式证明选讲 设a，b，c为正实数，求证：． 22．【必做题】记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围． 23．【必做题】．请先阅读： 在等式（）的两边求导，得：， 由求导法则，得，化简得等式：． （1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 （，正整数），证明：． （2）对于正整数，求证： （i）；