§13 n阶行列式定义.ppt

§1.3 n阶行列式定义 1.3.1、概念的引入 1.3.2、n阶行列式的定义 1.3.3、小结 * * 三阶行列式 说明 （1）三阶行列式共有 项，即 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积． （3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 列标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为 偶排列 奇排列 定义1.3.1 说明 1、行列式是一种特定的数值或表达式； 2、 阶行列式是 项的代数和; 3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆; 5、 的符号为 例1　计算对角行列式 分析 展开式中项的一般形式是 从而这个项为零， 所以 只能等于 , 同理可得 解 即行列式中不为零的项为 例2 计算上三角行列式 分析 展开式中项的一般形式是 所以不为零的项只有 解 例3 同理可得下三角行列式 例4 证明对角行列式 证明 第一式是显然的,下面证第二式. 若记 则依行列式定义 证毕 例5 设 证明 证 由行列式定义有 由于 所以 故 定理1.3.1 n阶行列式也可以定义为 其中s是行标排列q1q2…qn的逆序数。 且每一项都是取自不同行不同列的n个元素的乘积，这与定义一致，因此只需证明每一项的符号也满足行列式定义的要求。 证明 其中s是排列q1q2…qn的逆序数,t是排列p1p2…pn的逆序数。 当行标排列q1q2…qn经过若干次对换变为1,2,…,n时，列标由1,2,…,n变为排列p1p2…pn， 因为一个排列经过若干次对换变为1,2,…,n的对换次数的奇偶性与原排列逆序数的奇偶性相同。 所以q1q2…qn的逆序数,与p1p2…pn的逆序数有相同的奇偶性。既有 所以定理得证。 定理1.3.2 阶行列式也可定义为 其中 是两个 级排列， 为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 例1 试判断 和 是否都是六阶行列式中的项. 解 下标的逆序数为 所以 是六阶行列式中的项. 下标的逆序数为 所以 不是六阶行列式中的项. 例6 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号. 解 431265的逆序数为 所以 前边应带正号. 行标排列341562的逆序数为 列标排列234165的逆序数为 所以 前边应带正号. 例7 用行列式的定义计算 解 (1)已知 (2)证明 在全部 阶排列中 ,奇偶排列各占一半. 例8 解(1) 含 的项有两项,即 对应于 (2) 证 设在全部 阶排列中有 个奇排列, 个偶排列,现来证 . 将 个奇排列的前两个数对换,则这 个奇排列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以 若将 个偶排列的前两个数对换, 则这 个偶排列 全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有 故必有 * * *