2014届高考数学_00008.docVIP

空间中的垂直关系 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.(2012·北京模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中不正确的是 (　　) (A)若m∥α，α∩β＝n，则m∥n (B)若m∥n，m⊥α，则n⊥α (C)若m⊥α，m⊥β，则α∥β (D)若m⊥α，m?β，则α⊥β 2.(2012·青岛模拟)已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m?β，则α∥β是l⊥m的(　　) (A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 3.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　) (A)BC∥平面PDF (B)DF⊥平面PAE (C)平面PDF⊥平面PAE (D)平面PDE⊥平面ABC 4.(易错题)a，b，c是三条直线，α，β是两个平面，b?α，cα则下列命题不成立的是(　　) (A)若α∥β，c⊥α，则c⊥β (B)“若b⊥β，则α⊥β”的逆命题 (C)若a是c在α内的射影，a⊥b，则b⊥c (D)“若b∥c，则c∥α”的逆否命题 5.设α、β、γ为平面，l、m、n为直线，则m⊥β的一个充分条件为(　　) (A)α⊥β，α∩β＝l，m⊥l (B)n⊥α，n⊥β，m⊥α (C)α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ (D)α⊥γ，β⊥γ，m⊥α 6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是(　　) (A)线段B1C (B)线段BC1 (C)BB1中点与CC1中点连成的线段 (D)BC中点与B1C1中点连成的线段 二、填空题(每小题6分，共18分) 7. (2012·桂林模拟)设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题 ①若l⊥α，则l与α相交 ②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α ③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α ④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n 其中正确命题的序号为　　　　. 8. (2012·威海模拟)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题： ①点H是△A1BD的中心； ②AH垂直于平面CB1D1； ③AC1与B1C所成的角是90°. 其中正确命题的序号是　　　　. 9.已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则 ①棱AB与PD所在的直线垂直； ②平面PBC与平面ABCD垂直； ③△PCD的面积大于△PAB的面积； ④直线AE与直线BF是异面直线. 以上结论正确的是　　　　.(写出所有正确结论的编号) 三、解答题(每小题15分，共30分) 10.(预测题)如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E，P分别是BC，A1D1的中点，M，N分别是AE，CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a. (1)求证：MN∥平面ADD1A1； (2)求三棱锥P—DEN的体积. 11.(2012·济宁模拟)如图，已知直角梯形ABCD的上底BC＝，BC∥AD，BC＝AD，CD⊥AD，平面PDC⊥平面ABCD，△PCD是边长为2的等边三角形. (1)证明：AB⊥PB； (2)求三棱锥A－PBD的体积. 【探究创新】 (16分)已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点. (1)求四棱锥P－ABCD的体积； (2)是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论. 答案解析 1.【解析】选A.因为A中的直线m、n也可能异面. 2.【解析】选B.充分性：若α∥β，∵l⊥α，∴l⊥β，又m?β，∴l⊥m，是充分条件；必要性：如图正方体ABCD—A1B1C1D1，取ABCD为平面α，ADD1A1为平面β，直线l过点B，B1，直线m过点A，D，则符合条件，但不能推出α∥β，不是必要条件. 3.【解析】选D.因BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B、C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立. 4.【解析】选B.一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则垂直于另一个，故A正确；若c∥α，∵a是c在α内的射影，∴c∥a，∵b⊥a，∴b⊥c；若c与α相交，则c与a相交，由线面垂直的性质与判定定理知，若b⊥a，则b⊥c，故C正确；∵b?α，cα，b∥c，∴c∥α，因此原命题“若b∥c，则c∥α”为真，从而其逆否命题也为真，故D正确.当α⊥β时，平面α内的直线不一定垂直于平面β，故B不成立. 【误区警示】平面几何中的一些结论引用到立体几何中造成错误.对空间中位置关系的考虑不周，也是造成判断错误的因素. 5