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2015高考数学_00006

第二节 直线与圆的位置关系 时间:45分钟 分值:75分 一、填空题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.(2014·广东一模)如图所示,AB是⊙O的直径,过圆上一点E作切线ED⊥AF,交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C.若CB=2,CE=4,则AD的长为________. 解析 设r是⊙O的半径.由CE2=CA·CB,解得r=3.由=,解得AD=. 答案  2.(2014·北京模拟)如图,AB,CD是半径为a的圆O的两条弦,它们相交于AB的中点P.若PD=,∠OAP=30°,则AB=________,CP=________.(用a表示) 解析 ∵点P是AB的中点,由垂径定理知OP⊥AB,在Rt△OPA中,BP=AP=,∴AB=2AP=a,由相交弦定理知BP·AP=CP·DP,即×=CP·,解得CP=. 答案 a  3.如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB=______. 解析 根据相交弦定理得1×5=DE2,根据直角三角形射影定理得DE2=DF·DB,所以DF·DB=5. 答案 5 4.如图,圆O的半径为1,A,B,C是圆周上的三点,满足∠ABC=30°,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,则PA=________.   解析 如图,连接AO,AC,易知∠AOC=60°,△AOC为正三角形. ∴AC=OA=1,且∠ACP=120°.又由弦切角定理知∠CAP=∠ABC=30°, ∴∠APC=30°.∴CP=AC=1,易得PA=. 答案  5.(2013·北京卷)如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D.若PA=3,PDDB=916,则PD=________;AB=________. 解析 由PDDB=916,设PD=9a,DB=16a,根据切割线定理PA2=PD·PB得a=,所以PD=,PB=5,在直角△PBA中,由勾股定理得AB=4. 答案  4 6.(2013·湖北卷)如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,点D在半径OC上的射影为E.若AB=3AD,则的值为________. 解析 连接AC,BC,则AC⊥BC.又AB=3AD,则AD=AB,BD=AB,OD=AB,OC=AB.在△ABC中,CD2=AD·BD=AB2.在△OCD中,OD2=OE·OC,CD2=CE·OC可得:OE=AB,CE=AB,所以==×18=8. 答案 8 7.(2014·湖北八校联考)已知⊙O1和⊙O2交于点C和D,⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点,交直线CD于点E,M是⊙O2上的一点,若PE=2,EA=1,∠AMB=45°,那么⊙O2的半径为________. 解析 连接AO2,BO2. ∵∠AMB=45°,∴∠AO2B=90°. 设⊙O2的半径为r,则AB=r, 又PE2=EC·ED,EA·EB=EC·ED, 所以PE2=EA·EB即4=1·(1+r),r=. 答案  8.(2013·广东卷)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上.延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC=________. 解析 连接OC,则OC⊥CE,∠OCA+∠ACE=90°,∵∠OAC=∠OCA,∴∠OAC+∠ACE=90°得△ACB≌△ACD,则∠OAC=∠EAC,∴∠EAC+∠ACE=90°,∴∠AEC=90°.在Rt△ACD中,CD2=ED·AD,又CD=BC,AD=AB,将AB=6,ED=2代入得CD=2,所以BC=2. 答案 2 9.(2013·陕西卷)如图, 弦AB与CD相交于⊙O内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD=2DA=2, 则PE=________. 解析 由PE∥BC得∠PED=∠C=∠A,△APE中与△EPD中,∠APE=∠EPD,∠PED=∠A,故△PDE∽△PEA,则=,即PE2=PA·PD,又PA=PD+DA=3,PD=2,故PE2=2×3=6,则PE=. 答案  二、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 10.(2013·江苏卷)如图,AB和BC分别与圆O相切于点D,C,AC经过圆心O,且BC=2OC. 求证:AC=2AD.   证明 连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D,C, 所以∠ADO=∠ACB=90°. 又因为∠A=∠A,所以Rt△ADO∽Rt△ACB. 所以=. 又BC=2OC=2OD,故AC=2AD. 11.(2014·云南师大附中模拟)如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,A

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