2015高考数学_00007.docVIP

第九节　圆锥曲线的综合问题(理) 时间：45分钟　分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．已知对kR，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是(　　) A．(0, 1) B．(0,5) C．[1,5)(5，＋∞) D．[1,5) 解析　直线y＝kx＋1过定点(0,1)，只要(0,1)不在椭圆＋＝1外部即可． 从而m≥1，又因为椭圆＋＝1中m≠5，所以m的取值范围是[1,5)(5，＋∞)． 答案　C 2．已知抛物线C的方程为x2＝y，过A(0，－1)，B(t,3)两点的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)(1，＋∞) B. C．(－∞，－2)(2，＋∞) D．(－∞，－)(，＋∞) 解析　直线AB的方程为y＝x－1， 与抛物线方程x2＝y联立得x2－x＋＝0， 由于直线AB与抛物线C没有公共点，所以Δ＝－20， 解得t或t－.故选D. 答案　D 3．(2014·成都模拟)双曲线－＝1(a0，b0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率为(　　) A. B．2 C. D. 解析　双曲线－＝1的渐近线为y＝±x， 由得ax2－bx＋a＝0， 由题意得Δ＝b2－4a2＝0， b2＝c2－a2＝4a2，e＝，选C. 答案　C 4．已知直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的最大弦长是(　　) A．4 B. C．2 D．不能确定 解析　由直线y＝kx＋1过定点(0,1)，即椭圆短轴端点．最长弦即椭圆上点到(0,1)最大距离，设椭圆上P(x0，y0)到(0,1)距离为d，则d＝，又＋y＝1， d＝， 又－1≤y01，则当y0＝－时，dmax＝.故选B. 答案　B 5．AB为过椭圆＋＝1(ab0)中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则FAB的最大面积为(　　) A．b2 B．ab C．ac D．bc 解析　设A、B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， SABF＝|OF|·|2y1|＝c|y1|≤bc. 答案　D 6．设离心率为e的双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是(　　) A．k2－e2＞1 B．k2－e2＜1 C．e2－k2＞1 D．e2－k2＜1 解析　由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足－＜k＜，即k2＜＝＝e2－1. 答案　C 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．直线l：x＋＝1与椭圆x2＋＝1交于A，B两点，O为原点，则OAB的面积为________． 解析　l过椭圆的顶点(1,0)和(0,2)，SOAB＝×2×1＝1. 答案　1 8．已知曲线－＝1与直线x＋y－1＝0相交于P、Q两点，且·＝0(O为原点)，则－的值为________． 解析　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由题意得则(b－a)x2＋2ax－a－ab＝0. 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， y1y2＝(1－x1)(1－x2)＝1－(x1＋x2)＋x1x2， 根据·＝0，得x1x2＋y1y2＝0， 得1－(x1＋x2)＋2x1x2＝0， 因此1＋＋2×＝0，化简得＝2， 即－＝2. 答案　2 9. 如图，双曲线－＝1(a，b0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则双曲线的离心率e＝________. 解析　由题设|OB2|＝b，|OF1|＝c， 点B是以A1A2为直径的圆与菱形F1B1F2B2的切点， OB⊥B2F1，在RtF1OB2中，易知|F1B2|＝， 由等面积法，|OB|＝， 因此＝a，b2c2＝a2(b2＋c2)(*) 又b2＝c2－a2，将(*)化为c4－3a2c2＋a4＝0， e4－3e2＋1＝0，又e1，e2＝，则e＝. 答案　 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知椭圆C：＋＝1(ab0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程． (2)当AMN的面积为时，求k的值． 解　(1)由题意得解得b＝. 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0. 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|MN|＝ ＝ ＝. 又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝， 所以AMN的面积为S＝|MN|·d＝. 由＝，解得k＝±1. 11．(201