2015高考数学_00010.docVIP

第五节　数列的综合应用 时间：45分钟　分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为(　　) A. B. C. D.或 解析　设{an}的公比为q(q＞0)，由a3＝a2＋a1，得q2－q－1＝0，解得q＝.而＝q＝. 答案　B 2．据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是(　　) A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟 解析　设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…an则数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，由求和公式有na1＋＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15. 答案　C 3．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列(nN*)的前n项和是(　　) A. B. C. D. 解析　由f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1得m＝2，a＝1. f(x)＝x2＋x，则＝＝－. Sn＝1－＋－＋－＋…＋－ ＝1－＝. 答案　A 4．已知数列{an}的通项公式为an＝log2(nN*)，设其前n项和为Sn，则使Sn－5成立的自然数n(　　) A．有最小值63 B．有最大值63 C．有最小值31 D．有最大值31 解析　an＝log2＝log2(n＋1)－log2(n＋2)， Sn＝a1＋a2＋…＋an＝log22－log23＋log23－log24＋…＋log2(n＋1)－log2(n＋2)＝1－log2(n＋2)． 由Sn－5，得log2(n＋2)6， 即n＋264，n62，n有最小值63. 答案　A 5．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于(　　) A．24 B．32 C．48 D．64 解析　依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1， 两式相除，得＝2，所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…成等比数列．而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2·24＝32，a11＝1·25＝32. 又因为an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64. 答案　D 6．抛物线y＝(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1与x轴交点分别为An，Bn(nN*)，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2 010B2 010|的值是(　　) A. B. C. D. 解析　令y＝0，则(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1＝0. 设两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝. 解得x1＝，x2＝. |AnBn|＝－. |A1B1|＋|A2B2|＋…＋|AnBn|＝＋＋…＋＝1－＝. |A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2 010B2 010|＝. 答案　B 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－2，an＋2＝－，则该数列前26项的和为________． 解析　由于a1＝1，a2＝－2，an＋2＝－， 所以a3＝－1，a4＝，a5＝1，a6＝－2，…， 所以{an}是周期为4的数列， 故S26＝6×＋1－2＝－10. 答案　－10 8．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________． 解析　an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋33＝33＋n2－n， 所以＝＋n－1. 设f(x)＝＋x－1，则f′(x)＝＋1. 令f′(x)0，得x或x－. 所以f(x)在(，＋∞)上是增函数，在(0，)上是减函数． 因为nN*，所以当n＝5或n＝6时，f(n)取最小值． 因为f(5)＝，f(6)＝＝，， 所以的最小值为. 答案　 9．(2013·安徽卷)如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an.若a1＝1 ，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________． 解析　A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn， ＝，…，不妨设OA1＝OB1，OA2＝OB2，OA3＝OB3，…，OAn＝OBn.梯形A1A2B2B1，A2A3B3B2，…，An－1AnBnBn－1的面积均为S，O＝θ. 梯形A1A2B2B1的面积为S，则S＝a·sinθ－a·sinθ＝×22sinθ－×12sinθ＝sinθ. 梯形