2015高考数学_00014.docVIP

第五节　直线、平面垂直的判定及其性质 时间：45分钟　分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“lα”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 2．若m，n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为(　　) ?n⊥α ②?m∥n ③?m⊥n ④?n⊥α A．1 B．2 C．3 D．4 解析　正确，错误． 答案　C 3．(2013·广东卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　) A．若αβ，mα，nβ，则mn B．若αβ，mα，nβ，则mn C．若mn，mα，nβ，则αβ D．若mα，mn，nβ，则αβ 解析　A选项中，m，n可能平行或异面．B中m，n可能异面．C中α，β不一定垂直，故选D. 答案　D 4．(理)5.(文)(2014·长沙模拟)如下图，四边形ABCD中，ADBC，AD＝AB，BCD＝45°，BAD＝90°.将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥A—BCD，则在三棱锥A—BCD中，下列结论正确的是(　　) A．平面ABD平面ABC B．平面ADC平面BDC C．平面ABC平面BDC D．平面ADC平面ABC 解析　在四边形ABCD中，ADBC，AD＝AB，BCD＝45°，BAD＝90°，BD⊥CD.又平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD平面ABD，则CDAB.又ADAB，故AB平面ADC.平面ABC平面ADC. 答案　D 4．(文)(2013·广东汕头一模)如图，P是正方形ABCD外一点，且PA平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是(　　) A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直 B．它们两两垂直 C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直 D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直 解析　DA⊥AB，DAPA，AB∩PA＝A，DA⊥平面PAB，又DA平面PAD，平面PAD平面PAB，同理可证平面PAB平面PBC.把四棱锥P—ABCD放在长方体中，并把平面PBC补全为平面PBCD1，把平面PAD补全为平面PADD1，易知CD1D即为两个平面所成二面角的平面角，CD1D＝APB，CD1D90°，故平面PAD与平面PBC不垂直． 答案　A 5．(理)(2013·山东卷)已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　) A. B. C. D. 解析　如图所示，由已知＝SA1B1C1·AA1＝××sin60°·AA1，AA1＝， A1P＝AP′＝A1D1 ＝ ＝＝1. P，P′分别为正三角形A1B1C1与三角形ABC的中心，则PP′⊥平面ABC，P′AP即为PA与平面ABC所成的角，tanP′AP＝＝＝＝，P′AP＝. 答案　B 6．(理)(2014·菱湖中学月考)已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是(　　) A. B. C. D. 解析　过点D作DGAE于点G，由三垂线定理知，D1GAE，DGD1即为所求二面角的平面角，设正方体的棱长是1，易求得DG＝，D1G＝＝， sin∠DGD1＝＝. 答案　C 6．(文)在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为(　　) A.a B.a C.a D.a 解析　设点C到平面A1DM的距离为h，则由已知得DM＝A1M＝＝a，A1D＝a，SA1DM＝×a×＝a2，连接CM，SCDM＝a2，由VC—A1DM＝VA1—CDM，得SA1DM·h＝SCDM·a，即a2·h＝a2·a. 所以h＝a，即点C到平面A1DM的距离为a，选A. 答案　A 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．如图，BAC＝90°，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________． 解析　PC⊥平面ABC，PC垂直于直线AB，BC，AC； AB⊥AC，ABPC，AC∩PC＝C， AB⊥平面PAC. AB⊥AP.与AP垂直的直线是AB. 答案　AB，BC，AC　AB 8．如图所示，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为________． 解析　由PA平面ABC， 得PAAB，PAAC. 故PAB、PAC都是直角三角形． 由BCAC，得BCPC， 故BPC是直角三角形． 又ABC显然是直角三角形， 故直角三角形的个数为4. 答案　4