2015高考数学_00019.docVIP

第十三节　导数的应用(二) 时间：45分钟　分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则(　　) A．a＝ B．a＝1 C．a＝2 D．a≤0 解析　y′＝3ax2－1，因为函数y＝ax3－x在R上是减函数，所以3ax2－1≤0在R上恒成立，所以a≤0.故选D. 答案　D 2．已知a≤＋lnx对任意x恒成立，则a的最大值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　设f(x)＝＋lnx＝＋lnx－1， 则f′(x)＝－＋＝. 当x时，f′(x)0， 故函数f(x)在上单调递减； 当x(1,2]时，f′(x)0， 故函数f(x)在(1,2]上单调递增． f(x)min＝f(1)＝0. a≤0，故a的最大值为0.故选A. 答案　A 3．若直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为(　　) A．－2m2 B．－2≤m≤2 C．m－2或m2 D．m≤－2或m≥2 解析　y′＝3(1－x)(1＋x)，由y′＝0，得x＝±1，y极大＝2，y极小＝－2，－2m2. 答案　A 4．设a0，b0，e是自然对数的底数(　　) A．若ea＋2a＝eb＋3b，则ab B．若ea＋2a＝eb＋3b，则ab C．若ea－2a＝eb－3b，则ab D．若ea－2a＝eb－3b，则ab 解析　a0，b0，ea＋2a＝eb＋3b＝eb＋2b＋beb＋2b.对于函数y＝ex＋2x(x0)，y′＝ex＋20，y＝ex＋2x在(0，＋∞)上单调递增，因而ab成立． 答案　A 5．(2014·青岛模拟)如图为一圆锥形容器，其底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t＝分钟时的瞬时变化率为(注：π≈3.1)(　　) A．27分米/分钟 B．9分米/分钟 C．81分米/分钟 D．9分米/分钟 解析　设t时刻水面高度为h，半径为r，则r＝h. 此时水的体积V＝πr2h＝πh3，又V＝9.3t 所以πh3＝9.3t，且π≈3.1. h＝3t，则h′＝t－， 故当t＝分钟时的瞬时变化率为()－＝9. 答案　B 6．(2014·东北三省联考)已知f(x)为定义在(－∞，＋∞)上的可导函数，且f(x)f′(x)，对于任意xR恒成立，则(　　) A．f(2)e2·f(0)，f(2 010)e2 010·f(0) B．f(2)e2·f(0)，f(2 010)e2 010·f(0) C．f(2)e2·f(0)，f(2 010)e2 010·f(0) D．f(2)e2·f(0)，f(2 010)e2 010·f(0) 解析　设g(x)＝，则g′(x)＝ ， 又f(x)f′(x)对xR恒成立，所以g′(x)0， 所以g(x)在R上单调递增． g(2)g(0)，， f(2)e2f(0)，g(2 010)g(0)， ，f(2 010)e2 010f(0)，选A. 答案　A 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y＝x3－x2－40x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为________． 解析　由y′＝x2－39x－40＝0， 得x＝－1或x＝40， 由于0x40时，y′0； 当x40时，y′0. 所以当x＝40时，y有最小值． 答案　40 8．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________． 解析　方程可化为a＝x3－3x2， 设f(x)＝x3－3x2，则f′(x)＝3x2－6x， 由f′(x)0，得x2或x0； 由f′(x)0，得0x2， 所以f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减， 故f(x)在x＝0处有极大值，f(0)＝0. 在x＝2处有极小值f(2)＝－4. 要使方程有三个不同的实根，则有－4a0. 答案　(－4,0) 9．若f(x)＝xsinx＋cosx，则f(－3)，f()，f(2)的大小关系为________． 解析　由f(－x)＝f(x)知，函数f(x)为偶函数， 因此f(－3)＝f(3)． 又f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx， 当x(0，)时，f′(x)0，x(，π)时，f′(x)0. f(x)在区间(，π)上是减函数． f()f(2)f(3)＝f(－3)． 答案　f(－3)f(2)f() 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．设函数f(x)＝alnx－bx2(x0)， (1)求函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切， 求实数a，b的值； 求函数f(x)在 上的最大值． (2)当b＝0时，若不等式f(x)≥m＋x对所有的a，x(1，e2]都成立，求实数m的取值