2015高考数学_00016.docVIP

第一节　平面向量的概念及其线性运算 时间：45分钟　分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．如图，在四边形ABCD中，下列各式成立的是(　　) A.－＝ B.＋＝ C.＋＋＝ D.＋＝＋ 解析　－＝＋＝，故A项错误；＋＝，故B项错误；＋＋＝＋＋＝，故C项正确；＋＝≠＋，故D项错误． 答案　C 2. 如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝(　　) A.－ B.＋ C.＋ D.－ 解析　在CEF中，＝＋.因为点E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.所以＝＋＝＋＝－，故选D. 答案　D 3．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝(　　) A．a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析　＝－＝a－b，又＝3， ＝＝(a－b)． ＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b. 答案　B 4．如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　) A．a－b B.a－b C．a＋b D.a＋b 解析　连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CDAB且＝＝a，所以＝＋＝b＋a. 答案　D 5．已知点O，N在ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，则点O，N依次是ABC的(　　) A．重心　外心 B．重心　内心 C．外心　重心 D．外心　内心 解析　由||＝||＝||知，O为ABC的外心；＋＋＝0，知，N为ABC的重心． 答案　C 6. (2014·烟台高三诊断)如图，O为线段A0A2 013外一点，若A0，A1，A2，A3，…，A2 013中任意相邻两点的距离相等，＝a，OA2 013＝b，用a，b表示＋＋＋…＋OA2 013，其结果为(　　) A．1 006(a＋b) B．1 007(a＋b) C．2 012(a＋b) D．2 014(a＋b) 解析　＋＝2，＋＝2，…，OA2 011＋OA2 013＝2OA2 012，＋＋＋…＋OA2 013＝＝1 007(a＋b)．选B. 答案　B 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2014·北京东城区综合练习)设a，b，c是单位向量，且a＝b＋c，则向量a，b的夹角等于________． 解析　不妨设a＝，b＝，c＝，由a＝b＋c可知，＝＋，又||＝||＝||＝1，故四边形OBAC为菱形，且BOA＝60°，故向量a，b的夹角为60°. 答案　60° 8．(2014·无锡质检)设a，b是两个不共线的非零向量，若8a＋kb与ka＋2b共线，则实数k＝__________. 解析　因为8a＋kb与ka＋2b共线，所以存在实数λ，使8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.又a，b是两个不共线的非零向量，故解得k＝±4. 答案　±4 9．ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，重心为G，若a＋b＋c＝0，则A＝________. 解析　由G为ABC的重心知＋＋＝0，则＝－－，因此a＋b＋c(－－)＝(a－c)＋(b－c)＝0，又，不共线，所以a－c＝b－c＝0，即a＝b＝c.由余弦定理得cosA＝＝＝，又0Aπ，所以A＝. 答案　 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．(2014·东莞阶段检测)如图所示，在ABC中，点D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，，，，； (2)求证：B，E，F三点共线． 解　(1)延长AD到G，使＝，连接BG、CG，得到ABGC， 所以＝a＋b， ＝＝(a＋b)， ＝＝(a＋b)， ＝＝b， ＝－＝(a＋b)－a ＝(b－2a)， ＝－＝b－a＝(b－2a)． (2)由(1)可知，＝，所以B，E，F三点共线． 11．(2014·临沂模拟)若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？ 解　设＝a，＝tb，＝(a＋b)， ＝－＝－a＋b，＝－＝tb－a. 要使A，B，C三点共线，只需＝λ. 即－a＋b＝λtb－λa. 解得 当t＝时，三向量终点在同一直线上． 12．已知ABC中，＝a，＝b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足＝＋λa＋λb，则动点P的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由． 解　依题意，由＝＋λa＋λb， 得－＝λ(a＋b)， 即＝λ(＋)． 如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于O，则＝λ， A，P，D三点共线． 即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过ABC边BC的中点．