2017高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第五节 直线平面垂直判定及其性质 理.ppt

典例5　(2015·广东高考)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB. (1)证明:PE⊥FG; (2)求二面角P-AD-C的正切值; (3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值. 【解题思路】(1)通过等腰三角形底边中线垂直底边可得;(2)由面面垂直得∠PDC即为二面角P-AD-C的平面角,求解即可;(3)连接AC,结合已知条件可知连线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角,应用勾股定理与余弦定理求解. 位置关系中的转化思想 典例　空间四边形PABC中,PA,PB,PC两两相互垂直,∠PBA=45°,∠PBC=60°,M为AB的中点. (1)求BC与平面PAB所成的角; (2)求证:AB⊥平面PMC. 【解题思路】先考虑数量关系及计算,发现解题思路. 【针对训练】 如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是AC,BD的交点,E,F分别是AB与AD的中点. (1)求证:OD1⊥A1C1; (2)求异面直线EF与A1C1所成角的大小. 【解析】(1)∵A1C1∥AC, ∴OD1与AC所成的锐角或直角就是OD1与A1C1所成的角, 连接AD1,CD1, ∵AA1=CC1,A1D1=C1D1,∠AA1D1=∠CC1D1=90°, ∴△AA1D1≌△CC1D1, ∴AD1=CD1.∴△AD1C是等腰三角形. ∵O是底边AC的中点, ∴OD1⊥AC, 故OD1与A1C1所成的角是90°. ∴OD1⊥A1C1. (2)∵E,F分别是AB,AD的中点, ∴EF∥BD, 又∵A1C1∥AC, ∴AC与BD所成的锐角或直角就是EF与A1C1所成的角. ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD, ∴EF与A1C1所成的角为90°. 主干知识回顾 名师考点精讲 综合能力提升 第五节　直线、平面垂直的判定及其性质 4.常用的数学方法与思想 数形结合思想、转化与化归思想. 1.下列命题:①若直线l垂直于平面α内的两条直线,则l⊥α;②若直线l垂直于平面α内的无数条直线,则l⊥α;③若直线 l垂直于平面α内的任意一条直线,则l⊥α;④若l⊥α,则直线l垂直于平面α内的无数条直线,其中真命题的个数是 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 1.C　【解析】①②都要求平面α内的直线相交,所以均错误;由线面垂直的定义可知③④正确. 2.如果一条直线l与平面α的一条垂线垂直,那么直线l与平面α的位置关系是(　　) A.l?α B.l⊥α C.l∥α D.l?α或l∥α 2.D 3.二面角是指(　　) A.两个平面相交的图形 B.一个平面绕这个平面内一条直线旋转而成的图形 C.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 D.以两个相交平面交线上任意一点为端点,在两个平面内分别引垂直于交线的射线,这两条射线所成的角 3.C 4.不能肯定两个平面一定垂直的情况是　 (　　) A.两个平面相交,所成二面角是直二面角. B.一个平面经过另一个平面的一条垂线. C.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线. D.平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的. 4.D 5.(2015·浙江新阵地教育研究联盟联考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面, 则下列四个命题中正确的是(　　) A.α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n B.m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β C.α∥β,m∥α,n⊥β,则m∥n D.α⊥β,m⊥α,n∥β,则m∥n 5.B　【解析】若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m,n可能平行、相交或异面,所以A不正确;由线面垂直 的性质和面面垂直的判定可知B正确;若α∥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n,C不正确;若α⊥β,m⊥α, n∥β,则m,n可能平行、相交或异面,所以D不正确. 6.如图,P是正方形ABCD所在平面外的一点,PA=AB,且PA⊥平面ABCD,则在△PAB,△PBC,△PCD,△PAD, △PAC及△PBD中,直角三角形有　　　　个.? 6.5　【解析】因为PA⊥平面ABCD,所以△PAB,△PAD,△PAC是直角三角形;又BC⊥PAB,则△PBC是直角三角形;CD⊥平面PAD,则△PCD是直角三角形;设BD,AC交于点O,则POAO=BO,则可证△PBD不是直角三角形,故有5个直角三角形. 典例1　(1)(2015·安徽高考)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是 (　　) A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行 C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线 D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面