2017高考数学一轮复习 第二章 函数导数及其应用 第十一节 导数在研究函数中应用 理.ppt

(2015·南通三模)设函数f(x)=x2+bln(x+1). (1)若x=1时,函数f(x)取最小值,求实数b的值; (2)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数b的取值范围. 【解题思路】①注意定义域优先;②利用单调性确定最值对应的自变量的取值;③分单调递增与递减讨论. 【参考答案】(1)由x+10得x-1, ∴f(x)的定义域为(-1,+∞). 对x∈(-1,+∞),都有f(x)≥f(1), ∴f(1)是函数f(x)的最小值,故有f(1)=0, 【变式训练】 ? (2015·张掖诊断)已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R. (1)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为4e,求切线方程; (2)试求f(x)的单调区间并求出当a0时f(x)的极小值. 【解析】(1)∵f(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x-1)ex=[ax2+(2a+1)x]ex, ∴f(1)=(3a+1)e=4e,解得a=1. ∴f(1)=e, ∴切点坐标为(1,e). ∴切线方程为y-e=4e(x-1). 即所求切线方程为4ex-y-3e=0. 与导数有关的不等式恒成立与存在性两大问题的求解策略 由不等式恒成立或存在性求参数范围是每年高考的命题热点、难点,综合性强,难度高,通常以两种情况体现:(1)不等式恒成立问题求参数范围;(2)不等式存在性问题求参数范围. 1.不等式恒成立问题求参数范围 典例1　(2015·北京通州区模拟)已知函数f(x)=ae-x-x+1,a∈R. (1)若对任意x∈(0,+∞),f(x)0恒成立,求a的取值范围; 【参考答案】(1)由f(x)0可得ae-x-x+10, 即a(x-1)ex. 令g(x)=(x-1)ex, 所以g(x)=xex0, 所以g(x)在(0,+∞)上单调递增. 所以-1g(x), 所以a≤-1. 2.不等式存在性问题求参数范围 典例2　(2015·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是(　　) 1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是 (　　) A.(2,+∞) B.(-∞,-2) C.(1,+∞) D.(-∞,-1) 1.B　【解析】当a=0时,显然不满足条件,故a≠0;由f(x)=ax3-3x2+1可得f(x)=3ax2-6x,由f(x)=0可得x=0或 2.(2015·山东高考)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R. (1)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由; (2)若?x0,f(x)≥0成立,求a的取值范围. 主干知识回顾 名师考点精讲 综合能力提升 第十一节　导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数 (1)设函数y=f(x)在某个区间内可导 若　f(x)0　,则f(x)在这个区间内是增函数;? 若　f(x)0　,则f(x)在这个区间内是减函数;? 若　f(x)=0　,则f(x)在这个区间内是常数函数.? (2)求可导函数f(x)单调区间的步骤 ①确定f(x)的定义域; ②求导数f(x); ③令　f(x)0　或　f(x)0　,解出相应的x的取值范围;? ④当　f(x)0　时,f(x)在相应区间上是增函数,? 当　f(x)0　时,f(x)在相应区间上是减函数.? 2.函数的极值与导数 (1)函数的极小值与极小值点 若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a)=0;而且在点x=a附近的左侧　f(x)0　,右侧　f(x)0　,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.? (2)函数的极大值与极大值点 若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0;而且在点x=b附近的左侧　f(x)0　,右侧　f(x)0　,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.? (3)求可导函数f(x)极值的方法 解方程f(x)=0,当f(x0)=0时: ①如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值. 3.函数的最值与导数 (1)函数最值的概念 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,函数f(x)在[a,b]上一切函数值中的最大(最小)值,叫做函数y=f(x)的最大(最小)值. (2)求函数最值的步骤 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最值