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2018高考数学备考艺体生百日突围专题06导数的运算与几何意义附解析 专题六 导数的运算与几何意义 导数的计算【背一背基础知识】 1. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ax f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 2．导数的运算法则 （1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； （2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； （3）(g(x)≠0)． 【讲一讲基本技能】 必备技能：①尽可能的把原函数化为幂函数和的形式； ②遇到三角函数求导时，往往要对原函数进行化简，从而可以减少运算量； ③求复合函数的导数时，要合理地选择中间变量. 典型例题 例1已知,则_________. 【答案】1 例2【2018届山西省运城市夏县中学高三上学期第一次月考】函数的导数为__________． 【答案】 【解析】故答案为. 【练一练趁热打铁】 1函数y＝xcosx－sinx的导数为__________． 【答案】－xsinx 【解析】 2.已知函数的导函数为,且满足,则______. 【答案】-1 【解析】∵函数 ∴ ∴ 解得 故答案为 导数的几何意义【背一背基础知识】 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数几何意义： 在点处的导数就是曲线在点处的切线和斜率，即. 相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 【讲一讲基本技能】 必备技能：求函数图象上点处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率，由导数的几何意义知，故当存在时，切线方程为. 要深入体会切线定义中的运动变化思想：①两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)；②割线→切线. .可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数在处的导数表示曲线在点处切线的斜率，因此，曲线在点处的切线方程，可按如下方式求得： 第一，求出函数在处的导数，即曲线在点处切线的斜率； 第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程；如果曲线在点处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为. 典型例题 例1【2017课标1，文14】曲线在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】 【解析】 例2【2017天津，文10】已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为 . 【答案】 【解析】 【练一练趁热打铁】 1.的图像在点的处的切线过点，则 . 【答案】1 【解析】 试题分析：∵，∴，即切线斜率，∴切点为），∵切线过（2,7），∴，解得2. 【2016高考新课标Ⅲ文数】已知为偶函数，当 时，，则曲线在处的切线方程式_____________________________. 【答案】 【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即． 应用导数函数的单调性、极值【背一背基础知识】 1．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 2．函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【讲一讲基本技能】 必备技能：1.导数法证明函数在内的单调性的