2018高考数学备考百日闯关江苏专版专题2.6以新定义数列为背景解答题附解析.doc

2018高考数学备考百日闯关江苏专版专题2.6以新定义数列为背景的解答题附解析 专题 压轴解答题 【名师综述】设数列的首项为1，前n项和为，若对任意的，均有k是常数且）成立，则称数列为“数列”． 1）若数列为“数列”，求数列的通项公式； 2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由； 3）若数列为“数列” ，设，证明： ． 【答案】1）．2）见解析；3）见解析． 2）假设存在这样的数列，则有，故有 两式相减得： ，故有 同理由是“数列”可得： 所以对任意恒成立 所以，即，又，即，两者矛盾，故不存在这样的数列既是“数列”，也是“数列”． 3）因为数列为“数列”，所以 所以 故有， ，又n=1时， ，故，满足： 所以对任意正整数n恒成立，数列的前几项为：1,2,3,5,8, 故 所以， 两式相减得： =，显然，故，即． 若数列同时满足：①对于任意的正整数， 恒成立；②对于给定的正整数， 对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”. （1）已知判断数列是否为“数列”，并说明理由； （2）已知数列是“数列”，且存在整数，使得， ， ， 成等差数列，证明： 是等差数列. 【答案】（1）是（2）见解析 【解析】 . 所以，数列是“数列”. （2）由题意可得： ， 则数列， ， ， 是等差数列，设其公差为， 数列， ， ， 是等差数列，设其公差为， 数列， ， ， 是等差数列，设其公差为. 因为，所以， 所以， 所以①，②. 若，则当时，①不成立； 若，则当时，②不成立； 若，则①和②都成立，所以. 同理得： ，所以，记. 设 ， 则 . 同理可得： ，所以. 所以是等差数列. 【另解】 ， ， ， 以上三式相加可得： ，所以， 所以 ， ， ， 所以，所以， 所以，数列是等差数列. 2 已知数列满足记数列的前项和为， （1）求证：数列为等比数列，并求其通项； （2）求； （3）问是否存在正整数，使得成立？说明理由. 【答案】（1） （2） （3）当为偶数时， 都成立，（3）详见解析 【解析】 （2） ，所以 ， 当为奇数时，可令 则 ， 当为偶数时，可令 则 ； （3）假设存在正整数 ，使得 成立， 因为 ， ， 所以只要 即只要满足 ①： ，和②： ， 对于①只要 就可以； 对于②， 当 为奇数时，满足 ，不成立， 当 为偶数时，满足，即 令 ， 因为 即 ，且当 时， ， 所以当 为偶数时，②式成立，即当 为偶数时， 成立 . 已知两个无穷数列分别满足，其中，设数列的前项和分别为. （1）若数列都为递增数列，求数列的通项公式； （2）若数列满足：存在唯一的正整数，使得，称数列为“坠点数列”. ①若数列“坠点数列”，求 ②若数列为“坠点数列”，数列为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）.（2）①，② 6. (2)①∵数列满足：存在唯一的正整数k=5,使得,且， ∴数列必为1，3，5，7，5，7，9，11，…，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列， 故； ②∵，即，∴，而数列为“坠点数列”且，数列中有且只有两个负项.假设存在正整数，使得，显然，且为奇数，而中各项均为奇数，∴必为偶数. . ⅰ.当时，， 当时，，故不存在，使得成立. ⅱ.当时，，显然不存在，使得成立. ⅲ.当时，，当时，才存在，使得成立.所以.当时，，构造为1,3,1,3,5,7,9，…，为-1,2,4,8，-16,32，…，此时，所以的最大值为6. 3 记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，. （1）求数列的通项公式； （2）对任意正整数，若，求证：； （3）设,求证：. 【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析 【解析】 试题解析：（1）由已知得. 于是当时，. 又，故，即. 所以数列的通项公式为. （2）因为，， 所以. 因此，. （3）下面分三种情况证明. ①若是的子集，则. ②若是的子集，则. ③若不是的子集，且不是的子集. 令，则，，. 于是，，进而由，得. 设是中的最大数，为中的最大数，则. 由（2）知，，于是，所以，即. 又，故， 从而， 故，所以， 即. 综合①②③得，. 【名师指点】本题三个难点，一是数列新定义，利用新定义确定等比数列首项，再代入等比数列通项公式求解，二是利用放缩法求证不等式，放缩目的，是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列性质，以算代征，三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义的性质应用. 【举一反三