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实现从朴素经验到形式化的跨越策略分析 ——人教版第五册《有余数除法》的思考与实践 【内容摘要】学生的朴素经验通常是模糊的，不精确的，恰恰又蕴含着数学本质的思想方法。数学是在具体、半具体、半抽象、抽象中间的铺排，是穿梭于实物与算式之间所作的形式化过渡。在实际的教学中，教师通常忽视学生朴素经验与数学符号、数学模型之间的“过程抽象”，造成从学生的朴素经验到数学形式化的断层现象。本文将以《有余数除法》为载体，分析教学中的若干现象，研读各种版本教材提供的素材和教学线索，提出要实现从朴素经验到形式化的跨越，首先要优化重组教材，以学生朴素经验为基础设计教学，同时在活动过程中要从学生的感性经验入手，突出表象操作，注重数、形、义的结合。 【关 键 词】朴素经验 形式化 有余数除法 一、例说：对现象的举例与反思 在数学学习中，学生的朴素经验可能来自他们的生活经验，也可能来自以往学习经验的积累，更可能是一种直觉体验。这种经验之所以称之为朴素，因为它常常是模糊的，不精确的，可又恰恰蕴涵着数学本质的思想方法。数学是在具体、半具体、半抽象、抽象中间的铺排，是穿梭于实物与算式之间所作的形式化过渡，学生的朴素经验是数学形式化的源头。然而在实际的教学中，我们经常忽视学生朴素经验与数学符号、数学模型之间的“过程抽象”，造成从学生的朴素经验到数学的符号表征的断层现象。下面我从《有余数除法》的两则教学片断说起： 现象一：活动单一化，忽视“过程抽象” 出示例题：有15盆花，每组摆5盆，可以摆几组？ 1.学生独立计算，师板书：15÷5=3（组） 2.师：说一说你是怎样算的？ 生1：因为15里面有3个5。 生2：三五十五 师：做像这样的除法我们通常用乘法口诀来口算。那么你听说过笔算除法吗，也就是列竖式来计算除法？你会写除法竖式吗？（学生互动，教师巡视，指名板演。） 3.师生共同介绍除法竖式。 生1：里面写的是被除数，“/”左边写的是除数。 生2：被除数下面的数是3和5相乘的积。 生3：竖式下面有一个“0”。 生4：0上面有一条横线。 生5：我是用口诀：三五十五算出商是3，就写在上面。 师：那么3写在哪里呢？ 生6：3写在15的上面。 师：是写在数字“1”上面呢，还是数字“5”上面呢？ 生7：写在数字“5”的上面。 师说明相同数位要对齐，并介绍被除数、除数、商的位置，以及其它部分的来源和计算步骤。（边介绍边演示，如右。） 师：你能来说说计算顺序吗？ 学生说运算顺序。 …… 反思：在这里，老师引导学生以直接的方式学习概念的符号化知识，这是一种接受现成结果的表达方式，忽视的是符号知识背后的过程形态的知识。从除法竖式的符号表示到除法竖式的算理表达过程，学生只是经历了一种规范语言演绎表达的“形式抽象”过程，很难从本质上内在地体悟除法竖式的抽象意义。如果把数学规范语言表达的“过程抽象”，等同于学生本真语言表达提升为数学规范语言表达的“过程抽象”，这样学生就很难真实地经历从朴素经验到数学符号数学化过程。 现象二：活动形式化，忽视“过程抽象” 师：用12根小棒摆三角形，可以摆几个？ 生：可以摆4个，12÷3=4（个）。 师：那么用13根小棒可以摆几个三角形？请你们摆一摆，并用数学语言表达这个摆的过程。（学生活动，生生交流）反馈。 生：用13个小棒可以摆4个三角形，还剩下1根。 师（根据学生的回答写出有余数除法的横式：13÷3=4（个）……1（根）：你们知道这个算式里的“1”叫什么数吗？揭示余数的概念。 …… 反思：在这里，老师把学生在教学活动中的“活动体验”，等同于学生参与知识形成过程的“过程体验”。虽然学生经历了学具操作，也经历了所谓的“数学语言”表达过程，但这些都是基于学生经验的，也是学生的已有基础。从整个教学片断看，教学仅停留于此，老师根据学生回答得出的有余数除法的横式以及余数的概念，是概念结果表达的“符号抽象”，而不是概念建构形成的“过程抽象”，没有足够的关注“生活”到“数学”抽象，疏忽由“动手操作”到“符号表征”关键的一步，学生很难真实地经历从朴素经验到数学符号数学化过程。 二、思考：对教学的困惑与反思 意识决定行动，理念决定行为。很多时候，对教学的困惑让我们忽左忽右，摇摆不定。比如在《有余数除法》的教学中，就时常有下面这些问题困扰着我们。 思考一：有余数除法的认识有必要提前吗？与其说有余数除法是计算课，还不如说成概念课现实，因为余数的产生、竖式的介绍、余数比除数小等知识点远远盖过了试商、调商计算技能方面。在实际教学中，我们是否需要打破教材的整体布局后勾勒自己的单元教学体系目标，将有余数除法的认识提前？这需要我们进行取舍。 思考二：“除法竖式”的产生有必要让学生去经历探究吗？列竖式来计算除法，学生是第一次遇到。除法竖式的写法及计算步骤与以往学习的加、减法竖式甚至