n次单位根性质及其应用.doc

分类号 O29 编 号 2013010105 毕业论文 题 目 n次单位根的性质及其应用 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 年 月 日 论文指导教师签名： 年 月 日 目 录 摘要 1 Abstract 1 1 n次单位根的定义 2 2 n次单位根的性质 2 3 n次单位根的应用 4 3.1 n次单位根在中学数学竞赛中的应用 4 3.2 巧用n次单位根分解 5 3.3 n次单位根在几何中的应用 7 3.4 n次单位根在多项式整除中的应用 8 3.5 n次单位根在三角函数中的应用 9 4 总结 10 参考文献 11 致谢 12 n次单位根的性质及其应用 崔文强 (天水师范学院数学与统计学院 甘肃天水 741001) 摘 要: n次单位根是复变函数论中的重要内容,本文主要论述了n次单位根的性质,n次单位根性质证明.通过例题分析讲解n次单位根在因式分解、尺规作图、三角函数、多项式整除中的应用,说明n次单位根可拓宽解题思路,是一种方便快捷的解题方法,为初中的数学教学提供指导. 关键词: 单位根; 因式分解; 性质; 几何画图 中图分类号: O29 The Property and Application of nth Unit Root CUI Wen-qiang ( School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui Gansu,741001,China )　 Abstract: Key words: unit root; factorization; property; geometrical 1次单位根的定义 定义一 在复数域上的n个值;k=0,1,2，…，n-1就是多项式的n个根,称它们为n次单位根. 定义二 在复数域上的n个值,k=0,1,2，…，n-1就是多项式的n个根，称它们为n次单位根. 2 n次单位根的性质 （1） 证明 由定义一 得 =1 （2）令,则,k=1,2,…,n-1 证明 由欧拉公式,知 即 ,k=1,2,…,n-1 （3）= 证明 由定义二 知 === （4）对于每个单位根 证明 因为=,令,则 原式可变为,= 当时,，所以 （5）对于每个单位根:（当n整除m时） （当n不整除m时） 证明 由于为n次单位根则当n整除m时,令m=nq,则===1 同理 ==1 故 =1+1+…+1 =n 当n不整除m时， ≠1,由 知： = ==0 （6）两个n次单位根的乘积与商仍是n次单位根 证明 令、是n此单位根,则 · =1 = =1 命题得证. （7） 证明 由定义二, 得 = = = 即 ·= （8）=（0＜k＜n） 证明 因为 = = 则 = = = = = = 3 n次单位根的应用 3.1 n次单位根在中学数学竞赛中的应用 例1 (2001年全国高中数学联赛)若的展开式为， 求的值. 解 令= 在=中,令x=1,ξ(ξ是三次单位根,ξ≠0） ⑴ = 即 ⑵ 在⑵中、按实﹑虚部分别展开,并由复数相等可得 ⑶ ⑷ 则由⑴、⑶、⑷得=÷3 故 +++…+= 例2（1978年我国八省市中学数学竞赛）设,求以为根的方程. 解 由于,所以则 为1的10个10次单位根,所以 ⑴ 又是1的5个5次方根，则 ⑵ 由⑴÷⑵, 得 又 所以 , 即 所求方程为, 3.2 巧用n次单位根分解 例 对因式分解. 解 如果在复数范围内我们可以十五个分解为一次因式的乘积： 即其中而是方