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一维波方程空间半离散化边界可观性论文
一维波方程空间半离散化的边界可观性
摘要:我们考虑在有界区间上具有齐次Dirichlet边界条件的一维波方程的空间半离散化。我们分析了边界可观性问题,也就是当网格尺寸时,通过观测边界处的能量,解的总能量能否被一致估计的问题。由于存在数值格式产生的高频谱导出的伪模式,我们证明不存在一致界。然而,在离散系统的低频谱生成的解子空间中,一致界是存在的。当时,这个有限维空间变大并最终覆盖整个空间。这样,当网格尺寸趋于零时,熟知的连续系统的可观性性质是离散观测估计的极限。我们考虑了有限差分和有限元两种半离散化。
1.引言
考虑一维波方程:
(1.1)
系统(1.1)在能量空间中是适定的。确切地说,对任何,存在唯一解。
(1.1)解的能量由
(1.2)
给出,并且能量是关于时间守恒的,即:
众所周知,当时间满足,解的总能量可以通过集中观测一个边界点的能量一致估计,比如说在处。确切地说,对任何,存在,使得对(1.1)的每个有限能量解
(1.4)
成立。
当同时在两个端点进行观测时,上述不等式对所有的成立。
在本文,我们主要研究不等式(1.4)。
形如(1.4)的不等式和波方程的边界可控性密切相关。文[9]和[11]对波方程和板方程的相关问题进行了系统分析。
在本文,我们研究几个波方程空间半离散化的(1.4)相似形式。
为了说明上面提及的问题,让我们先考虑有限差分半离散化。
给定,令,引入网格
(1.5)
其中。
然后,引入如下(1.1)的有限差分半离散化
(1.6)
在(1.6)中,撇代表关于时间的导数。
由于根据边界条件有,系统(1.6)是关于未知量的N元线性微分方程组。
显然,u是(1.1)的解,只要初始数据是(1.1)的初值的一个近似值,就是的一个近似值。
系统(1.6)的能量由
(1.7)
给出,这是连续能量E的离散化形式。
容易看出,对于(1.1)的解,能量关于时间是守恒的,即:
(1.8)
本文的主要目标就是研究如下(1.4)的离散形式
(1.9)
注1.1 让我们讨论一下为何选择作为法向导数的近似。都知道泰勒展开式给出的最简单逼近是
或者,用上述记号表示为
由于Dirichlet边界条件,考虑到,可有
另一方面,就像我们将在2.1节看到的那样,当频率固定和时,对于每一个特征向量(特征函数),。这也说明也是法向导数的较好近似。
根据不等式(1.4),人们期望当时间时,存在一个与h无关的常数C=C(T),使得不等式(1.9)对于(1.6)的每个解和每个0h1成立。
本文的第一个结果断定这是办不到的:
定理1.1对任何T0,有
(1.10)
就像我们将要看到的那样,这是由数值格式产生的高频谱形成的伪模式造成的后果。在文[3-5]中由R. Glowinski等人早已发现这种现象,文[3-5]与高维波方程的边界精确可控性和所谓实用数值HUM方法有密切关系。在这些文献中,为了抑制高频谱的病态效应,提出两种方法:(a)当计算控制函数时,为了使二次泛函取得最小值,Tychonoff正则化过程被引入;(b)为了缩短离散系统解的分量的波长,滤波法被引入。通过各种数值实验说明这两种方法的有效性。
为了证明定理1.1,我们分析了系统(1.6)的谱,并且对于相应于(1.6)的特征值的特征向量利用离散乘子法得到精确的观测不等式。为了证明定理1.1的正面部分,也就是在时,形如(1.9)的不等式是一致成立的,我们利用离散乘子法。如上所述,为了使这些不等式是一致成立的,必须剔除由数值格式产生的高频伪模式。利用(1.6)的低频谱生成的合适的(1.6)的解子空间,或者换句话说,(1.6)的解的Fourier展开的合适截断,这个问题可以解决。因而,我们的方法同上面提及的滤波法很相似。
更详细地说,让我们考虑相应于(1.6)的特征值问题:
(1.11)
用代表(1.11)的N个特征值:
(1.12)
这些特征值可以明确地计算出来:
(1.13)
相应于特征值的特征函数也可以明确的算出来:
(1.14)
根据系统(1.11)的特征向量,(1.6)的解有如下的Fourier展开。确切地说,对于合适的系数,(1.6)的每个解能写成:
(1.15)
其中可由初值明确地给出。
在详细研究(1.6)的解的观测不等式前,分析
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