一维随机变量函数及其分布.ppt

在实际中, 人们常常对随机变量的函数更感兴趣. 如, 某商店某种商品的销售量是一个随机变量X, 销售该商品的利润Y也是随机变量, 它是X的函数g(X)，即Y=g(X) . 人们往往更加关注利润Y. 假设随机变量 X 的分布已知，如何由 X 的分布求出 Y 的分布？ 1、离散型随机变量函数的分布 解：当 X 取值 1，2，5 时，Y 取对应值 5，7，13，而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率. 于是 一般地，若离散型 r.v ，X 的分布律 如果g(xk)中有一些相同的值，把它们做适 当的并项即可 例 则 Y=X2 的分布律为 练习 设随机变量X的分布律为 求Y=2X2+1的分布律 提示 因为 Y=2X2+1的分布律为 X Y 1 2 1 2 0 1/3 1/3 1/3 例5 求X+Y，X-Y的分布 （1,1） （1,2) (2,1) (2,2) 2 3 3 4 X+Y 概率 0 1/3 1/3 1/3 （X,Y） 0 -1 1 0 X-Y 2 3 4 X+Y 概率 0 2/3 1/3 0 -1 1 X-Y 概率 1/3 1/3 1/3 例6 X，Y相互独立，分别服从P（λ1），P（λ2),求X+Y的分布 分析： X的取值0，1，2，… Y的取值0，1，2，… X+Y的取值0，1，2，… 结论推广： 称作Poisson分布的可加性（再生性） 例7 X、Y相互独立 0 1 X 概率 1/2 1/2 0 1 Y 概率 1/2 1/2 求Z=max（X，Y）的分布律 分析：Z可能取值0，1，计算相应的概率即可 三、 二维连续型随机 变量函数的分布 * * 概率论 2.4 一维随机变量的函数及其分布 主要内容 一维离散型随机变量函数的分布 一维连续型随机变量函数的分布 引例 设X 求 Y= 2X + 3 的概率函数. ～ X ～ 则 Y=g(X) ～ 如果, X ～ Y ～ X -2 -1 0 1 P 1/6 2/6 1/6 2/6 X -2 -1 0 1 Y=2X2+1 9 3 1 3 P 1/6 2/6 1/6 2/6 Y 1 3 9 P 1/6 4/6 1/6 接下来我们看 连续型随机变量函数的分布密度 设随机变量X的密度函数为 设Y为X的函数 如何确定Y的密度函数？ 1、通过分布函数定义求解 分析： 根据分布函数的定义 根据分布函数与密度函数的关系 关键点：积分区域的确定，定积分的求解 求分布函数是关键！ 分布函数的定义求法 例1 第一步，求Y的分布函数 （1） 设随机变量X服从[0，1]上的均匀分布 求X2的密度函数 （2） （3） 第二步，根据分布函数求密度函数 联立（1）（2）（3） 例2 设随机变量X服从标准正态分布 求|X|的密度函数 第一步，求Y的分布函数 （1） （2） 第二步，根据分布函数求密度函数 联立（1）（2） 如果随机变量的密度函数是一阶单调函数，且具有一阶连续导数， 则 2、通过公式求解 的反函数为 的密度函数为 例3 第一步，条件判断 设随机变量X服从参数为(μ,σ2)的正态分布 求Y=a+bX的密度函数 单调函数 一阶连续可导 第二步，求反函数及反函数的导数